Otimização/Operador de projeção

Teorema da projeção

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo e fechado.

Mostrar que $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\exists \;P_{D}(x)$ e é única

Mostrar que ${\bar {x}}=P_{D}(x)\Leftrightarrow {\bar {x}}\in D,\langle x-{\bar {x}},y-{\bar {x}}\rangle \leq 0,\forall \;y\in D$

Teorema do ponto minimizador projetado

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo e fechado, e $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ um função diferenciável no ponto ${\bar {x}}\in D$ . ${\bar {x}}\in M(f,D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}))$

Mostrar que $P_{D}({\bar {x}}-\alpha f'({\bar {x}}))={\bar {x}},\forall \alpha \in \mathbb {R} _{+}$

Teorema da projeção

Mostrar que ∀ x ∈ R n , ∃ P D ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\exists \;P_{D}(x)} e é única

Mostrar que x ¯ = P D ( x ) ⇔ x ¯ ∈ D , ⟨ x − x ¯ , y − x ¯ ⟩ ≤ 0 , ∀ y ∈ D {\displaystyle {\bar {x}}=P_{D}(x)\Leftrightarrow {\bar {x}}\in D,\langle x-{\bar {x}},y-{\bar {x}}\rangle \leq 0,\forall \;y\in D}

Teorema do ponto minimizador projetado

Mostrar que P D ( x ¯ − α f ′ ( x ¯ ) ) = x ¯ , ∀ α ∈ R + {\displaystyle P_{D}({\bar {x}}-\alpha f'({\bar {x}}))={\bar {x}},\forall \alpha \in \mathbb {R} _{+}}

Mostrar que $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\exists \;P_{D}(x)$ e é única

Mostrar que ${\bar {x}}=P_{D}(x)\Leftrightarrow {\bar {x}}\in D,\langle x-{\bar {x}},y-{\bar {x}}\rangle \leq 0,\forall \;y\in D$

Mostrar que $P_{D}({\bar {x}}-\alpha f'({\bar {x}}))={\bar {x}},\forall \alpha \in \mathbb {R} _{+}$