Otimização/Funções convexas

Convexidade da soma de funções convexas

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo e $f_{i}:D\rightarrow \mathbb {R} ,i=1,...,p,$ funções convexas em D. $\forall \mu _{i}\in \mathbb {R} _{+},i=1,...,p,$

Mostrar que a função $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=\sum _{i=1}^{p}\mu _{i}f_{i}(x)$ é convexa em D

Corolário de convexidade do supremo de funções convexas

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo e $f_{i}:D\rightarrow \mathbb {R} ,i\in I_{p},$ funções convexas em D. $\forall \beta \in \mathbb {R} ,f_{i}(x)\leq \beta ,\forall x\in D\land i\in I_{n}$

Mostrar que a função $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=\sup _{i\in I_{n}}f_{i}(x)$ é convexa em D

Corolário: Função composta de duas convexas é convexa

Sejam $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ uma função convexa e $\psi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ um função convexa e nãodecrescente.

Mostrar que $f(x)=\psi (g(x))\;$ é convexa

Corolário: Convexidade de conjunto de nível de funções convexas

Suponhamos que o conjunto $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ seja convexo e a função $f:D\rightarrow \mathbb {R}$ seja convexa em D.

Mostrar que $L_{f,D}(c)\;$ é convexo para todo $c\in \mathbb {R}$

Uma função é convexa se os vetores coordenadas são funções convexas

Definição

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo. Se todas as funções $g_{i}:D\subset \mathbb {R} ,i\in I_{m}$ são convexas em D, então $g:D\subset \mathbb {R} ^{m}$ é convexa em D

Convexidade da soma de funções convexas

Mostrar que a função f : D → R , f ( x ) = ∑ i = 1 p μ i f i ( x ) {\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=\sum _{i=1}^{p}\mu _{i}f_{i}(x)} é convexa em D