Otimização/Conjuntos convexos
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Intersecção de conjuntos convexos é convexo
[editar | editar código-fonte]Sejam conjuntos convexos, onde
Seja . Para quaisquer temos que para qualquer .
Como todo é convexo, para quaisquer e ,
Conjunto Poliedral
[editar | editar código-fonte]- Definição
Um conjunto é poliedral se é a intersecção finita de hiperplanos e semi-espaços
Um conjunto poliedral em é convexo
[editar | editar código-fonte]O fecho e o interior de um conjunto convexo são convexos
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A soma de convexos fechados é convexo e fechado
[editar | editar código-fonte]Sejam , conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.
Mostrar que é um conjunto convexo e fechado
[editar | editar código-fonte]Combinação convexa de p pontos
[editar | editar código-fonte]- Definição
Seja . A combinação convexa dos é o ponto
Teorema da combinação convexa
[editar | editar código-fonte]Um conjunto é convexo se, e somente se, a combinação convexa , ,
Desigualdade de Jensen
[editar | editar código-fonte]Sejam um conjunto convexo e uma função convexa,
Mostrar que
[editar | editar código-fonte]Teorema de Carathéodory
[editar | editar código-fonte]Seja uma combinação convexa de pontos do conjunto .
Mostrar que
[editar | editar código-fonte]Fecho convexo
[editar | editar código-fonte]- Definição
O fecho convexa de um conjunto qualquer D é o menor conjunto convexo que contem D e simbolizado por conv D.
- Definição
O conjunto de todas as combinações convexas de pontos de D, simbolizaremos por .
Corolário de um fecho convexo
[editar | editar código-fonte]Se
Mostrar que conv D = comb D
[editar | editar código-fonte]Corolário da compacidade do conv D
[editar | editar código-fonte]Seja compacto