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Otimização/Conjuntos convexos

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Intersecção de conjuntos convexos é convexo

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Sejam conjuntos convexos, onde

Seja . Para quaisquer temos que para qualquer .

Como todo é convexo, para quaisquer e ,

Conjunto Poliedral

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Definição

Um conjunto é poliedral se é a intersecção finita de hiperplanos e semi-espaços

Um conjunto poliedral em é convexo

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O fecho e o interior de um conjunto convexo são convexos

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A soma de convexos fechados é convexo e fechado

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Sejam , conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.

Mostrar que é um conjunto convexo e fechado

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Combinação convexa de p pontos

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Definição

Seja . A combinação convexa dos é o ponto

Teorema da combinação convexa

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Um conjunto é convexo se, e somente se, a combinação convexa , ,

Desigualdade de Jensen

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Sejam um conjunto convexo e uma função convexa,

Mostrar que

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Teorema de Carathéodory

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Seja uma combinação convexa de pontos do conjunto .

Mostrar que

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Fecho convexo

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Definição

O fecho convexa de um conjunto qualquer D é o menor conjunto convexo que contem D e simbolizado por conv D.

Definição

O conjunto de todas as combinações convexas de pontos de D, simbolizaremos por .

Corolário de um fecho convexo

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Se

Mostrar que conv D = comb D

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Corolário da compacidade do conv D

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Seja compacto

Mostrar que conv D é compacto

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