Otimização/Conjuntos convexos

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Intersecção de conjuntos convexos é convexo[editar | editar código-fonte]

Sejam conjuntos convexos, onde

Mostrar que é um conjunto convexo[editar | editar código-fonte]

Conjunto Poliedral[editar | editar código-fonte]

Definição

Um conjunto é poliedral se é a intersecção de hiperplanos e semi-espaços

Um conjunto poliedral em é convexo[editar | editar código-fonte]

O fecho e o interior de um conjunto convexo são convexos[editar | editar código-fonte]

A soma de convexos fechados é convexo e fechado[editar | editar código-fonte]

Sejam , conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.

Mostrar que é um conjunto convexo e fechado[editar | editar código-fonte]

Combinação convexa de p pontos[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja . A combinação convexa dos é o ponto

Teorema da combinação convexa[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é convexo se, e somente se, a combinação convexa , ,

Desigualdade de Jensen[editar | editar código-fonte]

Sejam um conjunto convexo e uma função convexa,

Mostrar que [editar | editar código-fonte]

Teorema de Carathéodory[editar | editar código-fonte]

Seja uma combinação convexa de pontos do conjunto .

Mostrar que [editar | editar código-fonte]

Fecho convexo[editar | editar código-fonte]

Definição

O fecho convexa de um conjunto qualquer D é o menor conjunto convexo que contem D e simbolizado por conv D.

Definição

O conjunto de todas as combinações convexas de pontos de D, simbolizaremos por .

Corolário de um fecho convexo[editar | editar código-fonte]

Se

Mostrar que conv D = comb D[editar | editar código-fonte]

Corolário da compacidade do conv D[editar | editar código-fonte]

Seja compacto

Mostrar que conv D é compacto[editar | editar código-fonte]