O Formalismo Hiperdecimal dos Números/O Método Maciel na Divisibilidade
Em relação às operações algébricas de divisão, a pedagogia do formalismo decimal preconizava algumas intuições antes de introduzir o grandioso método da chave. Mas, a despeito da elegância e da praticidade deste, jamais tal pedagogia foi muito eficiente.
O Método Linear de Divisão, tal como já apresentado, é a concretização dessas intuições e, talvez por isso, possa alcançar uma eficiência pedagógica maior no ensino dos processos de divisão.
O Método Alfabético é muito poderoso na resolução de divisões e na execução dos testes de divisibilidade, mas não é muito prático. Por isso mesmo, assim como o método da chave é uma possível sistematização do método linear, conviria haver um modo de se sistematizar a execução do método alfabético. Logo, o Método Maciel é a poderosa sistematização do método alfabético.
Embora tenha surgido para simplificar os processos extensos de divisão, sua principal funcionalidade é o cálculo exato da radiciação com índices inteiros. No entanto, dado o seu feitio, tal método só é manualmente viável para o cálculo de raízes quadradas e cúbicas, pois para índices maiores do que 4 o algoritmo torna-se demasiadamente extenso e lento, tornando mais eficientes os métodos de aproximação do cálculo numérico.
Fundamentos do Método Maciel
[editar | editar código-fonte]O método Maciel é uma sistematização do método alfabético que dispõe as equações de modo organizado, simplificando extremamente o critério da adequação do valor de cada incógnita para, ao menos, o atendimento dos transportes para as duas ordens seguintes.
O método consiste em uma tabela simples com 4 partes:
1) zona das somas parciais, para registrar as contribuições aos valores de cada ordem;
2) zona dos hiperdecimais, para registrar o dividendo, os transportes e a distribuição hiperdecimal da prova real da operação;
3) zona das incógnitas, onde cada incógnita do número alfabético tem seu valor registrado.
4) zona das equações, onde o produto entre o divisor e o número alfabético que representa o quociente é disposto e calculado.
- Ex. 1: 555.681 / 987 → 55.05.06.08.01 / 987
Um dividendo com 5 ordens hiperdecimais em relação a um divisor com 3 ordens implica em um quociente com, ao menos, 3 ordens na sua parte inteira.
O sistema de equações a se resolver é: 987 x abc = 9a.(8a+9b).(7a+8b+9c).(7b+8c).7c
Somas parciais | 45 | 40
94 |
35
83 110 |
42
66 |
|
Hiperdecimal | 45 | 94 | 110 | 66 | 21 |
Transporte | 55 | 105 | 116 | 68 | 21 |
Dividendo | 55 | 05 | 06 | 08 | 01 |
Incógnitas | a | b | c | ||
Quociente | 5 | 6 | 3 | ||
1º divisor: 9 | 9a
45 |
9b
54 |
9c
27 |
||
2º divisor: 8 | 8a
40 |
8b
48 |
8c
24 |
||
3º divisor: 7 | 7a
35 |
7b
42 |
7c
21 |
A prova real se realiza a partir do ultradecimal do hiperdecimal resultante para o dividendo, o que deve coincidir com a linha do Transporte.
45.94.110.66.21 → 55|105|116|68|21 → 555.681
O resto é zero, pois 21 - 21 = 0, o que sinaliza o final da divisão.
O método de resolução é o mesmo do método alfabético. Para a 1ª ordem a equação hiperdecimal a se atender é 9a = 55. O primeiro palpite razoável seria a = 6, resultando 9a = 54. Em decorrência disso, a 2ª ordem teria de resultar, no máximo, ((55 - 54 = 1) x 10) + 05 = 15; mas 8a resultaria 48, excedendo o limite e inviabilizando a possibilidade. Com a = 5 a 1ª ordem resultaria 45, a 2ª ordem resultaria 40, tendo até 105 para alcançar; e a 3ª ordem resultaria 35, tendo até (105 - 40 = 65) x 10) + 06 = 656 para alcançar, o que é perfeitamente viável.
Com a = 5 a 2ª equação se torna 9b = (105 - 40 = 65). O primeiro palpite seria b = 7, resultando 63. A 3ª ordem resultaria ((65 - 63 = 2) x 10) + 06 = 26, mas 7a já resultaria 35, excedendo o limite e inviabilizando a possibilidade. Com b = 6 a 2ª equação se tornaria 54, o que resultaria ((65 - 54 = 11) x 10) + 06 = 116 na 3ª ordem. Com a = 5 e b = 6 a soma parcial da 3ª ordem resultaria 35 + 48 = (07.13) = 83. Isso estabeleceria a equação hiperdecimal 9c = (116 - 83 = 33) para a 3ª ordem.
O primeiro palpite razoável seria c = 3, resultando 27. A 4ª ordem resultaria 8c + 7b = 24 + 42 = 66, tendo ((33 - 27 = 6) x 10) + 8 = 68 para resultar, o que é viável.
A última ordem resultaria 7c = 21, com ((68 - 66) x 10) + 01 = 21 para resultar, o que indica a precisão da divisão e a ausência de restos.
- Ex. 2: 448.466.746 / 9.737 → 44.08.04.06.06.07.04.06 / 9737
O dividendo tem 8 ordens hiperdecimais. O divisor tem 4 ordens. Isso implica que o divisor possui 5 ordens na sua parte inteira.
O algoritmo Maciel deve tratar o sistema de equações hiperdecimais abcde x 9737:
Somas parciais | 36 | 28
82 |
12
54 |
28
46 91 |
42
77 149 |
15
71 |
35
59 |
56 |
Hiperdecimal | 36 | 82 | 54 | 91 | 149 | 71 | 59 | 56 |
Transporte | 44 | 88 | 64 | 106 | 156 | 77 | 64 | 56 |
Dividendo | 44 | 08 | 04 | 06 | 06 | 07 | 04 | 06 |
Incógnitas | a | b | c | d | e | |||
Quociente | 4 | 6 | 0 | 5 | 8 | |||
1º divisor: 9 | 9a
36 |
9b
54 |
9c
00 |
9d
45 |
9d
72 |
|||
2º divisor: 7 | 7a
28 |
7b
42 |
7c
00 |
7d
35 |
7e
56 |
|||
3º divisor: 3 | 3a
12 |
3b
18 |
3c
00 |
3d
15 |
3e
24 |
|||
4º divisor: 7 | 7a
28 |
7b
42 |
7c
00 |
7d
35 |
7e
56 |
A linha do Transporte já indica que a prova real é 44|88|64|106|156|77|64|56 → 448.466.746
O resto é zero, pois 56 - 56 = 0, o que sinaliza que a divisão terminou.
- Ex. 3: 185,61796 / 6,908 = 18.561.796.10-5 / 6.908.10-3 = (18.561.796 / 6908).10-2
18.561.796 / 6.908 → 18.05.06.01.07.09.06 / 6908
O dividendo tem 7 ordens hiperdecimais. O divisor tem 4. O quociente deve ter 4 ordens em sua parte inteira.
O algoritmo Maciel deve resolver a equação hiperdecimal abcd x 6908:
Somas parciais | 12 | 18
54 |
54
102 |
16
88 130 |
48
111 |
64 | 56 |
Hiperdecimal | 12 | 54 | 102 | 130 | 111 | 64 | 56 |
Transporte | 18 | 65 | 116 | 141 | 117 | 69 | 56 |
Dividendo | 18 | 05 | 06 | 01 | 07 | 09 | 06 |
Incógnitas | a | b | c | d | |||
Quociente | 2 | 6 | 8 | 7 | |||
1º divisor: 6 | 6a
12 |
6b
36 |
6c
48 |
6d
42 |
|||
2º divisor: 9 | 9a
18 |
9b
54 |
9c
72 |
9d
63 |
|||
3º divisor: 0 | 00 | 00 | 00 | 00 | |||
4º divisor: 8 | 8a
16 |
8b
48 |
8c
64 |
8d
56 |
A linha do Transporte já indica que a prova real é 18|65|116|141|117|69|56 → 18.561.796, com resto 0.
O quociente é (18.561.796 / 6908).10-2 = 2687.10-2 = 26,87
A Capacidade de Expansão do Método Maciel
[editar | editar código-fonte]O Método Maciel não é tão simples quanto o método da chave, racionalmente falando; mas ele implica menos operações algorítmicas, menos ocupação de espaço físico, e já traz explicitamente o valor da prova real, nas divisões finitas, e traz o valor da prova real de forma implícita no hiperdecimal das divisões infinitas, coisa que o método da chave não era capaz de realizar. Entretanto, ambos os métodos explicitam as informações mais importantes, o quociente e o resto, de modo bastante claro.
Não obstante tais vantagens, o Método Maciel possui outra grande virtude em relação ao método da chave: a possibilidade de fácil expansão da operação até a obtenção da precisão desejada. Isso é particularmente útil para divisões extensas em que o quociente não é finito nem constitui uma dízima periódica.
Ex. 4: 58.197 / 7.688 → 58.01.09.07 / 7688
Tal divisão tem apenas 1 ordem na parte inteira. Calculando os 10 primeiros dígitos do quociente se tem a equação hiperdecimal 7688 x a,bcdefghij
Somas parciais | 49 | 42
77 |
56
86 128 |
56
96 132 195 |
40
88 142 198 |
48
120 168 196 |
72
136 160 223 |
64
96 150 157 |
32
104 110 117 |
72
80 86 121 |
08
16 46 |
08
48 |
40 |
Hiperdecimal | 49 | 77 | 128 | 195; | 198 | 196 | 223 | 157 | 117 | 121 | 46 | 48 | 40 |
Transporte | 58 | 91 | 149 | 217; | 220 | 220 | 240 | 170 | 130 | 130 | 90 | ||
Dividendo | 58 | 01 | 09 | 07; | |||||||||
Incógnitas | a, | b | c | d | e | f | g | h | i | j | |||
Quociente | 7, | 5 | 6 | 9 | 8 | 4 | 9 | 1 | 1 | 5 | |||
1º divisor: 7 | 7a
49 |
7b
35 |
7c
42 |
7d
63 |
7e
56 |
7f
28 |
7g
63 |
7h
07 |
7i
07 |
7j
35 |
|||
2º divisor: 6 | 6a
42 |
6b
30 |
6c
36 |
6d
54 |
6e
48 |
6f
24 |
6g
54 |
6h
06 |
6i
06 |
6j
30 |
|||
3º divisor: 8 | 8a
56 |
8b
40 |
8c
48 |
8d
72 |
8e
64 |
8f
32 |
8g
72 |
8h
08 |
8i
08 |
8j
40 |
|||
4º divisor: 8 | 8a
56 |
8b
40 |
8c
48 |
8d
72 |
8e
64 |
8f
32 |
8g
72 |
8h
08 |
8i
08 |
8j
40 |
Diferentemente do que acontece nas divisões finitas, há um desencontro entre o Transporte e a prova real da operação, fazendo-se necessário obter o ultradecimal do hiperdecimal parcial.
49.77.128.195.198.196.223.157.117.121.46.48.40 → 58|91|149|216|219|219|239|169|129|126|51|52|40 → 58.196,999 996 120 = 58.196,956120
A diferença é de (09.09.09.10 - 06.01.02.00).10-9 = (03.08.07.10).10-9 → 3880.10-9 = 0,000003880
A continuação da divisão é simples, pois consiste na continuação dentro da estrutura lógica, ou na construção de uma nova tabela, mantendo apenas os valores destacados em negrito. Calculando os próximos 10 dígitos do quociente:
Somas parciais | 46
81 |
48
78 |
40
80 108 |
40
64 106 |
32
68 124 |
32
80 128 142 |
48
112 124 166 |
64
80 116 130 |
16
64 76 90 |
48
64 76 90 |
16
32 44 |
16
32 |
16 |
Hiperdecimal | 81 | 78 | 108 | 106 | 124 | 142 | 166 | 130 | 90 | 90 | 44 | 32 | 16 |
Transporte | 90 | 90 | 120 | 120 | 140 | 160 | 180 | 140 | 100 | 100 | 100 | ||
Dividendo | |||||||||||||
Incógnitas | k | l | m | n | o | p | q | r | s | t | |||
Quociente | 5 | 0 | 4 | 6 | 8 | 2 | 6 | 2 | 2 | 2 | |||
1º divisor: 7 | 7k
35 |
7l
00 |
7m
28 |
7n
42 |
7o
56 |
7p
14 |
7q
42 |
7r
14 |
7s
14 |
7t
14 |
|||
2º divisor: 6 | 6k
30 |
6l
00 |
6m
24 |
6n
36 |
6o
48 |
6p
12 |
6q
36 |
6r
12 |
6s
12 |
6t
12 |
|||
3º divisor: 8 | 8k
40 |
8l
00 |
8m
32 |
8n
48 |
8o
64 |
8p
16 |
8q
48 |
8r
16 |
8s
16 |
8t
16 |
|||
4º divisor: 8 | 8k
40 |
8l
00 |
8m
32 |
8n
48 |
8o
64 |
8p
16 |
8q
48 |
8r
16 |
8s
16 |
8t
16 |
O quociente com 20 dígitos de precisão é 7,5698491155046826222
Para a prova real basta conjugar os hiperdecimais e realizar o ultradecimal:
49.77.128.195;198.196.223.157.117.121.81.78.108.106.124.142.166.130.90.90.44.32.16 →
58|91|149|216| ; |219|219|239|169|129|129|89|89|119|119|139|159|179|139|99|94|47|33|16 →
58.196,999 999 999 999 999 473 6 = 58.196,9154736
A diferença é de (09.09.09.10 - 04.07.03.06).10-19 = (05.02.06.04).10-19 = 5264.10-19 = 0,000 000 000 000 000 526 4