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O Formalismo Hiperdecimal dos Números/O Método Maciel na Divisibilidade

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Em relação às operações algébricas de divisão, a pedagogia do formalismo decimal preconizava algumas intuições antes de introduzir o grandioso método da chave. Mas, a despeito da elegância e da praticidade deste, jamais tal pedagogia foi muito eficiente.

O Método Linear de Divisão, tal como já apresentado, é a concretização dessas intuições e, talvez por isso, possa alcançar uma eficiência pedagógica maior no ensino dos processos de divisão.

O Método Alfabético é muito poderoso na resolução de divisões e na execução dos testes de divisibilidade, mas não é muito prático. Por isso mesmo, assim como o método da chave é uma possível sistematização do método linear, conviria haver um modo de se sistematizar a execução do método alfabético. Logo, o Método Maciel é a poderosa sistematização do método alfabético.

Embora tenha surgido para simplificar os processos extensos de divisão, sua principal funcionalidade é o cálculo exato da radiciação com índices inteiros. No entanto, dado o seu feitio, tal método só é manualmente viável para o cálculo de raízes quadradas e cúbicas, pois para índices maiores do que 4 o algoritmo torna-se demasiadamente extenso e lento, tornando mais eficientes os métodos de aproximação do cálculo numérico.

Fundamentos do Método Maciel

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O método Maciel é uma sistematização do método alfabético que dispõe as equações de modo organizado, simplificando extremamente o critério da adequação do valor de cada incógnita para, ao menos, o atendimento dos transportes para as duas ordens seguintes.

O método consiste em uma tabela simples com 4 partes:

1) zona das somas parciais, para registrar as contribuições aos valores de cada ordem;

2) zona dos hiperdecimais, para registrar o dividendo, os transportes e a distribuição hiperdecimal da prova real da operação;

3) zona das incógnitas, onde cada incógnita do número alfabético tem seu valor registrado.

4) zona das equações, onde o produto entre o divisor e o número alfabético que representa o quociente é disposto e calculado.

  • Ex. 1: 555.681 / 987 → 55.05.06.08.01 / 987

Um dividendo com 5 ordens hiperdecimais em relação a um divisor com 3 ordens implica em um quociente com, ao menos, 3 ordens na sua parte inteira.

O sistema de equações a se resolver é: 987 x abc = 9a.(8a+9b).(7a+8b+9c).(7b+8c).7c

Somas parciais 45 40

94

35

83

110

42

66

Hiperdecimal 45 94 110 66 21
Transporte 55 105 116 68 21
Dividendo 55 05 06 08 01
Incógnitas a b c
Quociente 5 6 3
1º divisor: 9 9a

45

9b

54

9c

27

2º divisor: 8 8a

40

8b

48

8c

24

3º divisor: 7 7a

35

7b

42

7c

21

A prova real se realiza a partir do ultradecimal do hiperdecimal resultante para o dividendo, o que deve coincidir com a linha do Transporte.

45.94.110.66.21 → 55|105|116|68|21 → 555.681

O resto é zero, pois 21 - 21 = 0, o que sinaliza o final da divisão.

O método de resolução é o mesmo do método alfabético. Para a 1ª ordem a equação hiperdecimal a se atender é 9a = 55. O primeiro palpite razoável seria a = 6, resultando 9a = 54. Em decorrência disso, a 2ª ordem teria de resultar, no máximo, ((55 - 54 = 1) x 10) + 05 = 15; mas 8a resultaria 48, excedendo o limite e inviabilizando a possibilidade. Com a = 5 a 1ª ordem resultaria 45, a 2ª ordem resultaria 40, tendo até 105 para alcançar; e a 3ª ordem resultaria 35, tendo até (105 - 40 = 65) x 10) + 06 = 656 para alcançar, o que é perfeitamente viável.

Com a = 5 a 2ª equação se torna 9b = (105 - 40 = 65). O primeiro palpite seria b = 7, resultando 63. A 3ª ordem resultaria ((65 - 63 = 2) x 10) + 06 = 26, mas 7a já resultaria 35, excedendo o limite e inviabilizando a possibilidade. Com b = 6 a 2ª equação se tornaria 54, o que resultaria ((65 - 54 = 11) x 10) + 06 = 116 na 3ª ordem. Com a = 5 e b = 6 a soma parcial da 3ª ordem resultaria 35 + 48 = (07.13) = 83. Isso estabeleceria a equação hiperdecimal 9c = (116 - 83 = 33) para a 3ª ordem.

O primeiro palpite razoável seria c = 3, resultando 27. A 4ª ordem resultaria 8c + 7b = 24 + 42 = 66, tendo ((33 - 27 = 6) x 10) + 8 = 68 para resultar, o que é viável.

A última ordem resultaria 7c = 21, com ((68 - 66) x 10) + 01 = 21 para resultar, o que indica a precisão da divisão e a ausência de restos.

  • Ex. 2: 448.466.746 / 9.737 → 44.08.04.06.06.07.04.06 / 9737

O dividendo tem 8 ordens hiperdecimais. O divisor tem 4 ordens. Isso implica que o divisor possui 5 ordens na sua parte inteira.

O algoritmo Maciel deve tratar o sistema de equações hiperdecimais abcde x 9737:

Somas parciais 36 28

82

12

54

28

46

91

42

77

149

15

71

35

59

56
Hiperdecimal 36 82 54 91 149 71 59 56
Transporte 44 88 64 106 156 77 64 56
Dividendo 44 08 04 06 06 07 04 06
Incógnitas a b c d e
Quociente 4 6 0 5 8
1º divisor: 9 9a

36

9b

54

9c

00

9d

45

9d

72

2º divisor: 7 7a

28

7b

42

7c

00

7d

35

7e

56

3º divisor: 3 3a

12

3b

18

3c

00

3d

15

3e

24

4º divisor: 7 7a

28

7b

42

7c

00

7d

35

7e

56

A linha do Transporte já indica que a prova real é 44|88|64|106|156|77|64|56 → 448.466.746

O resto é zero, pois 56 - 56 = 0, o que sinaliza que a divisão terminou.

  • Ex. 3: 185,61796 / 6,908 = 18.561.796.10-5 / 6.908.10-3 = (18.561.796 / 6908).10-2

18.561.796 / 6.908 → 18.05.06.01.07.09.06 / 6908

O dividendo tem 7 ordens hiperdecimais. O divisor tem 4. O quociente deve ter 4 ordens em sua parte inteira.

O algoritmo Maciel deve resolver a equação hiperdecimal abcd x 6908:

Somas parciais 12 18

54

54

102

16

88

130

48

111

64 56
Hiperdecimal 12 54 102 130 111 64 56
Transporte 18 65 116 141 117 69 56
Dividendo 18 05 06 01 07 09 06
Incógnitas a b c d
Quociente 2 6 8 7
1º divisor: 6 6a

12

6b

36

6c

48

6d

42

2º divisor: 9 9a

18

9b

54

9c

72

9d

63

3º divisor: 0 00 00 00 00
4º divisor: 8 8a

16

8b

48

8c

64

8d

56

A linha do Transporte já indica que a prova real é 18|65|116|141|117|69|56 → 18.561.796, com resto 0.

O quociente é (18.561.796 / 6908).10-2 = 2687.10-2 = 26,87

A Capacidade de Expansão do Método Maciel

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O Método Maciel não é tão simples quanto o método da chave, racionalmente falando; mas ele implica menos operações algorítmicas, menos ocupação de espaço físico, e já traz explicitamente o valor da prova real, nas divisões finitas, e traz o valor da prova real de forma implícita no hiperdecimal das divisões infinitas, coisa que o método da chave não era capaz de realizar. Entretanto, ambos os métodos explicitam as informações mais importantes, o quociente e o resto, de modo bastante claro.

Não obstante tais vantagens, o Método Maciel possui outra grande virtude em relação ao método da chave: a possibilidade de fácil expansão da operação até a obtenção da precisão desejada. Isso é particularmente útil para divisões extensas em que o quociente não é finito nem constitui uma dízima periódica.

Ex. 4: 58.197 / 7.688 → 58.01.09.07 / 7688

Tal divisão tem apenas 1 ordem na parte inteira. Calculando os 10 primeiros dígitos do quociente se tem a equação hiperdecimal 7688 x a,bcdefghij

Somas parciais 49 42

77

56

86

128

56

96

132

195

40

88

142

198

48

120

168

196

72

136

160

223

64

96

150

157

32

104

110

117

72

80

86

121

08

16

46

08

48

40
Hiperdecimal 49 77 128 195; 198 196 223 157 117 121 46 48 40
Transporte 58 91 149 217; 220 220 240 170 130 130 90
Dividendo 58 01 09 07;
Incógnitas a, b c d e f g h i j
Quociente 7, 5 6 9 8 4 9 1 1 5
1º divisor: 7 7a

49

7b

35

7c

42

7d

63

7e

56

7f

28

7g

63

7h

07

7i

07

7j

35

2º divisor: 6 6a

42

6b

30

6c

36

6d

54

6e

48

6f

24

6g

54

6h

06

6i

06

6j

30

3º divisor: 8 8a

56

8b

40

8c

48

8d

72

8e

64

8f

32

8g

72

8h

08

8i

08

8j

40

4º divisor: 8 8a

56

8b

40

8c

48

8d

72

8e

64

8f

32

8g

72

8h

08

8i

08

8j

40

Diferentemente do que acontece nas divisões finitas, há um desencontro entre o Transporte e a prova real da operação, fazendo-se necessário obter o ultradecimal do hiperdecimal parcial.

49.77.128.195.198.196.223.157.117.121.46.48.40 → 58|91|149|216|219|219|239|169|129|126|51|52|40 → 58.196,999 996 120 = 58.196,956120

A diferença é de (09.09.09.10 - 06.01.02.00).10-9 = (03.08.07.10).10-9 → 3880.10-9 = 0,000003880

A continuação da divisão é simples, pois consiste na continuação dentro da estrutura lógica, ou na construção de uma nova tabela, mantendo apenas os valores destacados em negrito. Calculando os próximos 10 dígitos do quociente:

Somas parciais 46

81

48

78

40

80

108

40

64

106

32

68

124

32

80

128

142

48

112

124

166

64

80

116

130

16

64

76

90

48

64

76

90

16

32

44

16

32

16
Hiperdecimal 81 78 108 106 124 142 166 130 90 90 44 32 16
Transporte 90 90 120 120 140 160 180 140 100 100 100
Dividendo
Incógnitas k l m n o p q r s t
Quociente 5 0 4 6 8 2 6 2 2 2
1º divisor: 7 7k

35

7l

00

7m

28

7n

42

7o

56

7p

14

7q

42

7r

14

7s

14

7t

14

2º divisor: 6 6k

30

6l

00

6m

24

6n

36

6o

48

6p

12

6q

36

6r

12

6s

12

6t

12

3º divisor: 8 8k

40

8l

00

8m

32

8n

48

8o

64

8p

16

8q

48

8r

16

8s

16

8t

16

4º divisor: 8 8k

40

8l

00

8m

32

8n

48

8o

64

8p

16

8q

48

8r

16

8s

16

8t

16

O quociente com 20 dígitos de precisão é 7,5698491155046826222

Para a prova real basta conjugar os hiperdecimais e realizar o ultradecimal:

49.77.128.195;198.196.223.157.117.121.81.78.108.106.124.142.166.130.90.90.44.32.16 →

58|91|149|216| ; |219|219|239|169|129|129|89|89|119|119|139|159|179|139|99|94|47|33|16 →

58.196,999 999 999 999 999 473 6 = 58.196,9154736

A diferença é de (09.09.09.10 - 04.07.03.06).10-19 = (05.02.06.04).10-19 = 5264.10-19 = 0,000 000 000 000 000 526 4