O Formalismo Hiperdecimal dos Números/Subtração Hiperdecimal
Assim como na Adição Hiperdecimal, a Subtração Hiperdecimal também obedece às mesmas regras e propriedades previstas na álgebra elementar.
A subtração no formalismo decimal prevê uma espécie de transporte entre ordens quando o dígito do subtraendo (quantidade a se subtrair) é maior do que o dígito do minuendo (quantidade de que se subtrai) para uma mesma ordem; isso é problemático quando o minuendo possui menos casas decimais do que o subtraendo.
A subtração no formalismo hiperdecimal previne esses dois problemas através de um recurso chamado Majorante, que consiste no transporte compulsório de uma unidade à direita até que as ordens do minuendo, ao menos, se alinhem à direita com o subtraendo. De modo simples, o majorante consiste em subtrair 1 da primeira ordem; subtrair 1 e adicionar 10 (equivalente a adicionar 9) a todas as demais ordens, exceto à última, que é adicionada por 10.
A subtração hiperdecimal também pode ser realizada nos modos Linear ou Aninhado, e trata como minuendo o maior valor em módulo, como previsto no formalismo decimal, nos casos onde o módulo do valor negativo é maior do que o do valor positivo.
Modo Linear[editar | editar código-fonte]
Assim como na adição, o modo linear da subtração também requer a correlação entre as ordens do minuendo, em sua forma majorante, e do subtraendo.
- Ex. 1: 914 - 738
Majorante: 914 → 09.01.04 = 08.11.04 = 08.10.14
08.10.14 - 07.03.08 = (08-07).(10-03).(14-08) = 01.07.06 → 176
- Ex. 2: 5007 - 4909
Majorante: 5007 = 05.00.00.07 = 04.10.00.07 = 04.09.10.07 = 04.09.09.17
04.09.09.17 - 04.09.00.09 = (04-04).(09-09).(09-00).(17-09) = 00.00.09.08 → 98
- Ex. 3: 98,568 - 69,900 43
Majorante: 98,56800 = 09.08;05.06.08.00.00 → 08.17;14.15.17.09.10
08.17;14.15.17.09.10 - 06.09;09.00.00.04.03 = (08-06).(17-09);(14-09).(15-00).(17-00).(09-04).(10-03) = 02.08;05.15.17.05.07
Ultradecimal: 02|08|;|06|16|17|05|07 → 28,667 57
- Ex. 4: 951,277 - 65.809,63 = - (65.809,630 - 951,277)
Majorante: 06.05.08.00.09;06.03.00 → 05.14.17.09.18;15.12.10
05.14.17.09.18;15.12.10 - 09.05.01;02.07.07 = 05.14.(17-09).(09-05).(18-01);(15-02).(12-07).(10-07) = 05.14.08.04.17;13.05.03
Ultradecimal: 06|14|08|05|18|;|13|05|03 → 64.858,353
Portanto, o resultado decimal é - 64.858,353
Modo Aninhado[editar | editar código-fonte]
É realizado conforme as regras da subtração decimal e do modo linear hiperdecimal, dispondo as ordens correspondentes em um mesmo alinhamento vertical.
- Ex. 5: 9.850.200,600 3 - 852.998,665 032
Majorante: 09.08.05.00.02.00.00;06.00.00.03.00.00 = 08.17.14.09.11.09.09;15.09.09.12.09.10
| 08 | 17 | 14 | 09 | 11 | 09 | 09; | 15 | 09 | 09 | 12 | 09 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| - | 08 | 05 | 02 | 09 | 09 | 08; | 06 | 06 | 05 | 00 | 03 | 02 | |
| Subtração Hiperdecimal | 08 | 09 | 09 | 07 | 02 | 00 | 01; | 09 | 03 | 04 | 12 | 06 | 08 |
| Ultradecimal | 08 | 09 | 09 | 07 | 02 | 00 | 01; | 09 | 03 | 05 | 12 | 06 | 08 |
Portanto, o resultado decimal é 8.997.201,935 268
Subtrações Múltiplas[editar | editar código-fonte]
O algoritmo mais simples pede que se some tudo o que é positivo de um lado, tudo o que é negativo de outro, e se proceda, afinal, a uma simples subtração entre dois valores.
- Ex. 6: 95,642 - 782,9 - 65,998 01 - 3,002 = 95,642 00 - (782,9 + 65,998 01 + 3,002)
07.08.02;09 + 06.05;09.09.08.00.01 + 03;00.00.02 = 07.(08+06).(02+05+03);(09+09+00).(09+00).(08+02).00.01 = 07.14.10;18.09.10.00.01
Ultradecimal: 08|15|11|;|19|10|10|00|01 → 851,900 01
Como 851,90001 > 95,642 → 95,64200 - 851,90001 = - (851,90001 - 95,64200)
Majorante: 08.05.01;09.00.00.00.01 → 07.14.10;18.09.09.09.11
07.14.10;18.09.09.09.11 - 09.05,06.04.02.00.00 = 07.(14-09).(10-05);(18-06).(09-04).(09-02).09.11 = 07.05.05;12.05.07.09.11
Ultradecimal: 07|05|06|;|12|05|08|10|11 → 756,258 01
Portanto, o resultado decimal é - 756,258 01
Subtração entre Hiperdecimais[editar | editar código-fonte]
Nem sempre é possível saber, de antemão, se um hiperdecimal é maior do que outro. O melhor algoritmo requer que se expresse os hiperdecimais em sua forma simples, para então se proceder à subtração das ordens e, finalmente, realizar a conversão para decimal.
- Ex. 7: 65.04.09;32.15.11.09 - 39.89.88;65.37.44.32
65.04.09;32.15.11.09 → 06.05.05.02;03.06.01.09 → 6552,3619
39.89.88;65.37.44.32 → 04.08.08.04;09.01.07.02 → 4884,9172
Majorante: 06.05.05.02;03.06.01.09 → 05.14.14.11;12.15.10.19
05.14.14.11;12.15.10.19 - 04.08.08.04;09.01.07.02 = 01.06.06.07;03.14.03.17
Ultradecimal: 01|06|06|07|;|04|14|04|17 → 1667,444 7
Prova Real: 01.06.06.07;04.04.04.07 + 04.08.08.04;09.01.07.02 = 05.14.14.11;13.05.11.09 → 06|15|15|12|;|13|06|11|09 → 6.552,361 9
Mediante: um Método alternativo de Subtração[editar | editar código-fonte]
O Majorante é um excelente método de subtração, pois impede toda complicação em relação a passagens de valores entre as ordens, que é uma das características da subtração pelo método clássico.
No entanto, o método Majorante possui uma limitação que consiste na necessidade de se destacar, de antemão, o valor de maior módulo, reescrever a subtração com o maior valor em módulo em primeiro lugar, e de se fazer a transformação Majorante antes de se realizar as subtrações entre as ordens.
O Método Mediante é mais arcaico; embora ele dispense as comparações entre os módulos dos valores e de se realizar o Majorante, ele tem um mecanismo de compensação das ordens muito mais custoso do que o método clássico. No entanto, ele é o método mais simples de todos, pois possui apenas 3 passos:
1) Calcular o Mediante, a distância entre os valores de cada ordem, independentemente dos sinais e da posição.
2) Definir se o minuendo ou o subtraendo possui as maiores primeiras ordens; isso denota se o resultado é positivo ou negativo;
3) Quando certa ordem do maior módulo for menor do que a mesma ordem do menor módulo, toma-se o Complemento da distância (quanto falta para 10), e se diminui 1 na ordem anterior.
- Ex. 1: 8.162 - 6.457
| 8 | 1 | 6 | 2 | |
|---|---|---|---|---|
| - | 6 | 4 | 5 | 7 |
| Mediante | Distância entre 8 e 6
2 |
Distância entre 1 e 4
3 |
Distância entre 6 e 5
1 |
Distância entre 2 e 7
5 |
| 1 < 4 | 1 | 7 | ||
| 6 > 5 | 1 | |||
| 2 < 7 | 0 | 5 | ||
| Resultado | 1 | 7 | 0 | 5 |
Explicação: A quantidade de ordens é semelhante; se 8 é maior do que 6, certamente o número iniciado com 8 é o maior em módulo, e o resultado é seguramente positivo. As distâncias entre os dígitos são triviais, independentemente o número pertencer ao valor positivo ou ao negativo. Na 2ª ordem, 1 < 4, então se toma o Complemento de 3, que é 7, e se diminui 1 da 1ª ordem. Na 3ª ordem, 6 > 5, o que mantem a distância. Na 4ª ordem, 2 < 7, então se toma o Complemento de 5, que é 5, e se diminui 1 da 3ª ordem, resultando 0.
Prova: 1.705 + 6.457 = (1+6).(7+4).(0+5).(5+7) = 07.11.05.12 = 08|11|06|12 → 8.162
- Ex. 2: 90.265 - 8.768
| 9 | 0 | 2 | 6 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| - | 8 | 7 | 6 | 8 | |
| Mediante | 9 | 8 | 5 | 0 | 3 |
| 0 < 8 | 8 | 2 | |||
| 2 < 7 | 1 | 5 | |||
| 6 = 6 | 4 | 10 | |||
| 5 < 8 | 9 | 7 | |||
| Resultado | 8 | 1 | 4 | 9 | 7 |
Explicação: O 1º valor tem mais ordens, o que denota que seu módulo é seguramente maior e o resultado seguramente positivo. Na 2ª ordem, 0 < 8, o que implica o Complemento do Mediante 8, que é 2, e a redução de 1 na 1ª ordem. Na 3ª ordem acontece o mesmo. Na 4ª ordem, como 6 = 6 e o Mediante 0, isso implica o Complemento de 0, que é 10, e a redução da ordem anterior. Na 5ª ordem sucede o Complemento de 3, que é 7, e a redução de 10 para 9.
Prova: 81.497 + 8.768 = 08.(1+8).(4+7).(9+6).(7+8) = 08.09.11.15.15 = 09|10|12|16|15 → 90.265
- Ex. 3: 760.981 - 1.899.082
| + | 7 | 6 | 0 | 9 | 8 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| - | 1 | 8 | 9 | 9 | 0 | 8 | 2 | |
| Mediante | 1 | 1 | 3 | 9 | 9 | 0 | 1 | |
| 1>0; 8>7; 9>6; 9>0 | 1 | 1 | 3 | 9 | ||||
| 0 < 9 | 8 | 1 | ||||||
| 8 = 8 | 0 | 10 | ||||||
| 2 > 1 | 1 | |||||||
| Resultado | - | 1 | 1 | 3 | 8 | 0 | 10 | 1 |
O resultado, na representação decimal, é - 1.138.101
Explicação: No caso proposto, o segundo valor é maior em módulo, por possuir mais ordens, o que implica que o resultado é negativo. Com o Mediante determinado, considera-se se as ordens do segundo valor são maiores do que os do primeiro valor, utilizando a regra do Complemento como previsto.
Prova: 01.01.03.08.00.10.01 + 07.06.00.09.08.01 = 01.(01+07).(03+06).(08+00).(00+09).(10+08).(01+01) =
01.08.09.08.09.18.02 = 01|08|09|09|10|18|02 → 1.899.082
- Ex. 4: 79,3284 - 804,75
| + | 7 | 9, | 3 | 2 | 8 | 4 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| - | 8 | 0 | 4, | 7 | 5 | |||
| Mediante | 8 | 7 | 5, | 4 | 3 | 8 | 4 | |
| 8 > 0; 0 < 7 | 7 | 3 | ||||||
| 4 < 9 | 2 | 5, | ||||||
| 7 > 3; 5 > 2 | 4 | 3 | ||||||
| 0 < 8 | 2 | 2 | ||||||
| 0 < 4 | 1 | 6 | ||||||
| Resultado | - | 7 | 2 | 5, | 4 | 2 | 1 | 6 |
Explicação: Alinhadas as vírgulas, o segundo valor se mostra maior em módulo, pois possui mais ordens na parte inteira. Dado o Mediante, se usa a regra do Complemento como previsto.
Prova: 07.02.05;04.02.01.06 + 07.09;03.02.08.04 = 07.(02+07).(05+09);(04+03).(02+02).(01+08).(06+04) =
07.09.14;07.04.09.10 = 08|10|14|;|07|05|10|10 → 804,7500
Minorante: um Método residual de Subtração[editar | editar código-fonte]
O Majorante toma o maior valor em módulo e expande ao máximo cada ordem, para satisfazer abundantemente as subtrações necessárias.
O Mediante toma as distâncias médias, ou seja, as mais simples entre os valores das ordens, independentemente dos sinais ou das posições.
O Minorante é um Método que funde o Majorante e o Mediante, resultando na versão hiperdecimal do método clássico. A diferença entre o método Minorante e o clássico consiste no fato de o Minorante iniciar da esquerda para a direita a subtração.
O Minorante, como o Mediante, desconsidera ordenar a subtração com o maior valor em módulo na primeira linha. No entanto, o Minorante parte da constatação do menor valor em módulo, e sempre considera a distância em relação a um valor maior, ainda que se tenha de transportar 1 unidade da ordem anterior, que é o mesmo princípio de funcionamento do método clássico.
- Ex. 1: 736 - 498
| 7 | 3 | 6 | |
|---|---|---|---|
| - | 4 | 9 | 8 |
| Distância de 4 a 7
3 |
|||
| 2 | Distância de 9 a 13
4 |
||
| 3 | Distância de 8 a 16
8 | ||
| Resultado | 2 | 3 | 8 |
Explicação: O subtraendo é claramente menor em módulo, o que implica um resultado positivo. Como o segundo valor é o menor, ele é o Minorante, aquele cujas distâncias serão consideradas em relação ao outro valor, onde cada ordem é Majorada, caso necessário. Na 1ª ordem o Minorante 4 é menor do que 7, o que implica distância simples. Na 2ª ordem, o minorante 9 é maior do que 3, o que implica a majoração do mesmo para 13, o que diminui de 3 para 2 o valor da 1ª ordem do resultado. Na 3ª ordem, o minorante 8 é maior do que 6, o que implica a majoração deste para 16 e na redução de 4 para 3 no valor da 2ª ordem do resultado.
Prova: 238 + 498 = (2+4).(3+9).(8+8) = 06.12.16 = 07|13|16 → 736
- Ex. 2: 95.056 - 254.923
| + | 9 | 5 | 0 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| - | 2 | 5 | 4 | 9 | 2 | 3 |
| 2 | ||||||
| 1 | 6 | |||||
| 5 | 9 | |||||
| 9 | ||||||
| 8 | 7 | |||||
| 6 | 7 | |||||
| - | 1 | 5 | 9 | 8 | 6 | 7 |
Explicação: O subtraendo é maior do que o minuendo em módulo, o que implica um resultado negativo; consequentemente, o minuendo é o minorante. Assim se estabelecem as distâncias entre os dígitos das ordens: 1ª » 0 a 2 = 2; 2ª » 9 a 15 = 6; 3ª » 5 a 14 = 9; 4ª » 0 a 9 = 9; 5ª » 5 a 12 = 7; 6ª » 6 a 13 = 7. Em cada etapa recordou-se de transportar 1 unidade do valor à esquerda para compensar o dígito do minorante maior do que o do outro.
Prova: 159.867 + 95.056 = 01.(5+9).(9+5).(8+0).(6+5).(7+6) = 01.14.14.08.11.13 = 02|15|14|09|12|13 → 254.923
- Ex. 3: 574,982 - 6.708,49
| + | 5 | 7 | 4, | 9 | 8 | 2 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| - | 6 | 7 | 0 | 8, | 4 | 9 | |
| 6 | |||||||
| 2 | |||||||
| 1 | 3 | ||||||
| 4, | |||||||
| 3, | 5 | ||||||
| 1 | |||||||
| 0 | 8 | ||||||
| - | 6 | 1 | 3 | 3, | 5 | 0 | 8 |
Prova: 6.133,508 + 574,982 = 06.(1+5).(3+7).(3+4);(5+9).(0+8).(8+2) = 06.06.10.07;14.08.10 = 06|07|10|08|;|14|09|10 → 6.708,490
- Ex. 4: - 98,0015 + 4578,32
| - | 9 | 8, | 0 | 0 | 1 | 5 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| + | 4 | 5 | 7 | 8, | 3 | 2 | ||
| 4 | 5 | |||||||
| 4 | 8 | |||||||
| 0, | 3 | 2 | ||||||
| 1 | 9 | |||||||
| 8 | 5 | |||||||
| + | 4 | 4 | 8 | 0, | 3 | 1 | 8 | 5 |
Prova: 4.480,3185 + 98,0015 = 04.04.(8+9).(0+8);(3+0).(1+0).(8+1).(5+5) = 04.04.17.08;03.01.09.10 = 04|05|17|08|;|03|02|10|10 → 4.578,3200
Certamente o Majorante é o método de subtração hiperdecimal mais poderoso; o Mediante soa mais como uma curiosidade matemática; o Minorante parece ser o método mais interessante no que se refere à pedagogia algébrica.