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O Formalismo Hiperdecimal dos Números/A Radiciação Cúbica pelo Método Maciel

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Diante da Radiciação Quadrática o método Maciel organiza os transportes entre as ordens do virtual produto duplo do número alfabético que indica a raiz quadrada procurada. Do mesmíssimo modo o método Maciel trata a Radiciação Cúbica como o produto triplo do número alfabético que indica a raiz cúbica procurada.

Embora o nível de dificuldade seja praticamente o mesmo entre os dois tipos de radiciação, há dois fatores importantes a se considerar. Primeiramente, para uma mesma quantidade de dígitos de precisão para a raiz, a operação cúbica gera muito mais ordens de imprecisão. Por segundo, o modo de recorrência para as operações cúbicas não é tão óbvio quanto para as operações quadráticas, mas ainda assim são aplicáveis.

Radiciação Cúbica Exata

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  • Ex. 1:

Um produto triplo de números alfabéticos com 2 dígitos resultaria:

(ab x ab) x ab = (aa.(ab+ba).bb) x ab = aa.2ab.bb x ab = aaa.(aab+2aab).(2abb+abb).bbb = aaa.3aab.3abb.bbb

O radicando possui 3 ou 4 ordens hiperdecimais. Adequando-o ao produto alfabético:

Hiperdecimal 01 09 27 27
Transporte 02 11 29 27 00
Radicando 02 01 09 07
Raiz a b
1 3
aaa

01

3aab

3b

09

3abb

3bb

27

bbb

27

Para a 1ª ordem, a = 1 ou a = 0. Como a = 1 garante os transportes, é o valor suficiente.

A equação hiperdecimal 3b = 11 só admite «b» menor ou igual a 3, pois 3.4 = 12 > 11. Como apontado, b = 3 resolve o sistema.

Como esperado, a linha do Transporte já informa a prova real.

  • Ex. 2:

A radiciação solicitada, por mais incrível que possa parecer, também possui 2 dígitos na raiz.

Uma regra fundamental da radiciação é que a primeira ordem hiperdecimal pode possuir o máximo valor para a máxima possibilidade de primeiro dígito. No caso das radiciações cúbicas a 1ª ordem pode possuir até 9 x 9 x 9 = 81 x 9 = 72.09 = 729 como valor.

Logo, o hiperdecimal a ser considerado na radiciação será 592.07.00.04:

Hiperdecimal 512 768 384 64
Transporte 592 807 390 64 00
Radicando 592 07 00 04
Raiz a b
8 4
aaa

512

3aab

192b

768

3abb

24bb

384

bbb

64

Para a 1ª ordem, se a = 8, 8 x 8 x 8 = 64 x 8 = 48.32 = 512, que garante transporte suficiente às demais ordens.

A 2ª equação hiperdecimal é 192b = 807. Se b = 5, 192 x 5 = 05.45.10 = 960 > 807.

Se b = 4, 192 x 4 = 04.36.08 = 768. 807 - 768 = 39. Para a 3ª ordem: 24 x 16 = 02.12 + 00.04.24 = 02.16.24 = 384. Isso garante o último transporte necessário.

  • Ex. 3:

O produto triplo do número alfabético de 3 dígitos é:

(abc x abc) x abc = (aa.(ab+ba).(ac+bb+ca).(bc+cb).cc) x abc = aa.2ab.(bb+2ac).2bc.cc x abc =

aaa 2aab abb+2aac 2abc acc
+ aab 2abb bbb+2abc 2bbc bcc
+ aac 2abc bbc+2acc 2bcc ccc
= aaa 3aab 3abb bbb 3bbc 3bcc ccc
3aac 6abc 3acc

O radicando possui 7 ordens. Logo, sua representação hiperdecimal é a simplória:

Hiperdecimal 01 27 264 1107 1848 1323 343
Transporte 07 66 394 1305 1983 1357 343
Radicando 07 06 04 05 03 07 03
Raiz a b c
1 9 7
aaa

01

3aab

3b

27

3abb

3bb

243

bbb

729

3bbc

243c

1701

3bcc

27cc

1323

ccc

343

3aac

3c

21

6abc

6bc

54c

378

3acc

3cc

147

A 1ª ordem requer a = 1, pois, se a = 2, 2 x 2 x 2 = 8 > 7.

A 2ª ordem tolera b = 9; na 3ª ordem há 414 - 243 = 171 para transportar à 4ª ordem, e 1715 > 729. Logo, os transportes são suficientes.

Supondo c = 9:

Hiperdecimal 01 27 270 1215 2430 2187 729
Transporte 07 66 394 1245 303 (!)
Radicando 07 06 04 05 03 07 03
Raiz a b c
1 9 9
aaa

01

3aab

3b

27

3abb

3bb

243

bbb

729

3bbc

243c

2187

3bcc

27cc

2187

ccc

729

3aac

3c

27

6abc

6bc

54c

486

3acc

3cc

243

Supondo c = 8:

Hiperdecimal 01 27 267 1161 2136 1728 512
Transporte 07 66 394 1275 1143 (!)
Radicando 07 06 04 05 03 07 03
Raiz a b c
1 9 8
aaa

01

3aab

3b

27

3abb

3bb

243

bbb

729

3bbc

243c

1944

3bcc

27cc

1728

ccc

512

3aac

3c

24

6abc

6bc

54c

432

3acc

3cc

192

Como esperado, a linha do Transporte já indica a correção da raiz cúbica calculada. Os cálculos para as propostas de raiz 199 e 198 apontam para a validade do critério de se testar a adequação dos transportes para as duas ordens subsequentes à ordem em questão.

Radiciação Cúbica Exata com Dízimas

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A Radiciação Cúbica de números com dízimas segue a mesma lógica da Radiciação Quadrática, bastando tomar a ordem de 10 adequada para a operação.

  • Ex. 4:

O equivalente em base 10 do radicando é 13.430.356.633.10-6. Vale o mesmo princípio do que para a radiciação quadrática. Lá, a quantidade de dígitos do radicando era o dobro do número de dígitos da raiz menos 1; aqui é o triplo menos 1. Ou seja, uma raiz com 4 dígitos implica um radicando com até 4 x 3 - 1 = 11 dígitos, que é o caso.

Calculando o produto triplo do número alfabético de 4 dígitos:

abcd x abcd =

aa ab ac ad
+ ba bb bc bd
+ ca cb cc cd
+ da db dc dd
= aa 2ab bb 2bc cc 2cd dd
2ac 2ad 2bd

abcd x (abcd x abcd) =

aaa 2aab abb

2aac

2abc

2aad

acc

2adb

2acd add
+ aab 2abb bbb

2abc

2bbc

2abd

bcc

2bbd

2bcd bdd
+ aac 2abc bbc

2acc

2bcc

2acd

ccc

2bcd

2ccd cdd
+ aad 2abd bbd

2acd

2bcd

2add

ccd

2bdd

2cdd ddd
= aaa 3aab 3abb bbb 3acc 3bcc ccc 3bdd 3cdd ddd
3aac 3aad 3bbc 3bbd 3add 3ccd
6abc 6abd 6acd 6bcd

Calculando a raiz do equivalente inteiro do radicando com 10 ordens hiperdecimais:

Parciais 08 36 54

138

27

111

363

294

483

735

441

630

1218

343

637

1519

441

1470

1029 343
Hiperdecimal 08 36 138 363 735 1218 1519 1470 1029 343
Transporte 13 54 183 450 873 1385 1676 1576 1063 343
Radicando 13 04 03 00 03 05 06 06 03 03
Raiz a b c d
2 3 7 7
aaa

08

3aab

12b

36

3abb

6bb

54

bbb

27

3acc

6cc

294

3bcc

9cc

441

ccc

343

3bdd

9dd

441

3cdd

21dd

1029

ddd

343

3aac

12c

84

3aad

12d

84

3bbc

27c

189

3bbd

27d

189

3add

6dd

294

3ccd

147d

1029

6abc

12bc

36c

252

6abd

12bd

36d

252

6acd

12cd

84d

588

6bcd

18cd

126d

882

Logo, a resultante é x = 2.377.10-2 = 23,77.

Embora os cálculos sejam um pouco mais trabalhosos do que na radiciação quadrática, o método ainda é factível manualmente.

Radiciação Cúbica Infinita

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A radiciação cúbica infinita em relação à radiciação finita, assim como na radiciação quadrática, não representa um aumento significativo de dificuldade quanto aos cálculos. A única complicação aqui consiste na compreensão da expansão dos dígitos do modo de recorrência, pois a forma cúbica não é tão simples quanto a forma quadrática no que se refere ao aumento da precisão.

Para compreender os desenvolvimentos dos produtos triplos alfabéticos se deve recorrer à teoria dos Multinômios. Embora o multinômio se dê em previsão da potenciação da soma de incógnitas, ela se ajusta ao cálculo dos índices das ordens hiperdecimais em relação ao número alfabético que representa a raiz de interesse.

Teoria Multinomial Clássica:

com atendendo à condição de que

O Multinômio Hiperdecimal é concebido a partir das possibilidades de combinação da incógnita aumentada em relação às anteriores.

A teoria multinomial para 3 índices é:

Uma vez que 3! = 3.2 = 6, os índices que acompanham as ordens só podem ter 3 possibilidades, pois, como k1 + k2 + k3 = 3, os «k» só podem se originar da combinação aleatória dos trios (3,0,0), (2,1,0) ou (1,1,1). As combinações do trio 3-0-0 tem fatorial 6, ou seja, índice 1 às ordens hiperdecimais; o trio 2-1-0 tem fatorial 2, gerando índice 3; o trio 1-1-1 tem fatorial 1, gerando índice 6.

As 2 primeiras ordens assim se apresentariam no modo de recorrência:

a aaa
b 3aab 3abb bbb

As 3 primeiras ordens:

a aaa
b 3aab 3abb bbb
c 3aac 6abc 3acc

3bbc

3bcc ccc

As 4 primeiras ordens:

a aaa
b 3aab 3abb bbb
c 3aac 6abc 3acc

3bbc

3bcc ccc
d 3aad 6abd 6acd

3bbd

3add

3bcd

3bdd

3ccd

3cdd ddd

As 5 primeiras ordens:

a aaa
b 3aab 3abb bbb
c 3aac 6abc 3acc

3bbc

3bcc ccc
d 3aad 6abd 6acd

3bbd

3add

3bcd

3bdd

3ccd

3cdd ddd
e 3aae 6abe 6ace

3bbe

6ade

6bce

3aee

6bde

3cce

3bee

6cde

3cee

3dde

3dee eee

As 6 primeiras ordens:

a aaa
b 3aab 3abb bbb
c 3aac 6abc 3acc

3bbc

3bcc ccc
d 3aad 6abd 6acd

3bbd

3add

6bcd

3bdd

3ccd

3cdd ddd
e 3aae 6abe 6ace

3bbe

6ade

6bce

3aee

6bde

3cce

3bee

6cde

3cee

3dde

3dee eee
f 3aaf 6abf 6acf

3bbf

6adf

6bcf

6aef

6bdf

3ccf

3aff

6bef

6cdf

3bff

6cef

3ddf

3cff

6def

3dff

3eef

3eff fff

Com tais modos de recorrência se pode operar as radiciações cúbicas até a ordem de precisão que se deseje.

  • Ex. 5:

A 1ª ordem atende à condição de aaa < 243.

Se a = 9, aaa = 9 x 81 = 729 > 243. Se a = 8, aaa = 8 x 64 = 48.32 = 512 > 243.

Se a = 7, aaa = 7 x 49 = 28.63 = 343 > 243. Se a = 6, aaa = 6 x 36 = 18.36 = 216 < 243.

Logo, a = 6 é a resposta adequada à primeira incógnita. Transporta-se 243 - 216 = 27. A segunda ordem, no modo de recorrência, assim é determinada:

Hiperdecimal 216; 216 72 08
Transporte 243; 278 625
Radicando 243; 08 05
Raiz a, b
6, 2
3aab

108b

216

3abb

18bb

72

bbb

08

A principal equação a se resolver é 108b = 278. Se b = 3, 108 x 3 = 324 > 278. Com b = 2 os transportes se tornam suficientes.

Parciais 72

504

08

296

288

336

96 64
Hiperdecimal 504
Transporte 625 1210
Radicando 05
Raiz a, b c
6, 2 4
3aac

108c

432

6abc

36bc

72c

288

3acc

18cc

288

3bcc

6cc

96

ccc

64

3bbc

12c

48

A equação hiperdecimal a se resolver é 108c = 625 - 72 = 553. Se c = 5, 108 x 5 = 540 > 553. Com c = 4 os transportes se tornam suficientes.

Parciais 296

1052

336

840

96

1104

1188

64

946

1282

294

630

588 343
Hiperdecimal 1052
Transporte 1210 1580
Radicando
Raiz a, b c d
6, 2 4 7
3aad

108d

756

6abd

36bd

72d

504

6acd

36cd

144d

1008

3add

18dd

882

3bdd

6dd

294

3cdd

12dd

588

ddd

343

3bbd

12d

84

6bcd

12cd

48d

336

3ccd

48d

336

A equação hiperdecimal a se resolver é 108d = 1210 - 288 = 922.

Se d = 9, 108 x 9 = 972 > 922.

Se d = 8, 108 x 8 = 864 < 922, transportando 58. Na 2ª ordem se tem 72d = 72 x 8 = 576 que somado a 336 da parcial anterior resultaria 912. Mas o limite da ordem é 580, o que torna a opção inviável.

Parciais 840

1380

1188

1548

1282

2002

2062

630

1890

2130

588

1038

1458

1698

343

493

1333

300

1035

525 125
Hiperdecimal 1380
Transporte 1660 2800
Radicando
Raiz a, b c d e
6, 2 4 7 5
3aae

108e

540

6abe

36be

72e

360

6ace

36ce

144e

720

6ade

36de

252e

1260

3aee

18ee

450

3bee

6ee

150

3cee

12ee

300

3dee

21ee

525

eee

125

3bbe

12e

60

6bce

12ce

48e

240

6bde

12de

84e

420

6cde

24de

168e

840

3dde

147e

735

3cce

48e

240

A equação hiperdecimal a se resolver é 108e = 1660 - 840 = 820. Se e = 8, 108 x 8 = 864 > 820.

Se e = 7, 108 x 7 = 756 < 820. Na segunda ordem se transporta (820 - 756 = 64) x 10 = 640, mas teria de atender o 1188 da parcial anterior.

Se e = 6, 108 x 6 = 648. Transporta-se (820 - 648 = 172) x 10 = 1720, que satisfaz a parcial anterior. 72e = 432, 1188 + 432 = 1620. Transporta-se (1720 - 1620 = 100) x 10 = 1000 para a 3ª ordem, mas é insuficiente ante o 1282 da parcial anterior.

Portanto, a raiz cúbica parcial de 243,85 é 6,2475.

A prova real é: 216 ; 216.504.1052.1380.1548.2062.2130.1698.1333.1035.525.125 →

243 ; 278|624|1207|1557|1777|2293|2314|1842|1441|1088|537|125 → 243,847 773 421 875

O erro é inferior a 0,003 ou, mais precisamente, 0,002 226 578 125.