O Formalismo Hiperdecimal dos Números/A Radiciação Cúbica pelo Método Maciel
Diante da Radiciação Quadrática o método Maciel organiza os transportes entre as ordens do virtual produto duplo do número alfabético que indica a raiz quadrada procurada. Do mesmíssimo modo o método Maciel trata a Radiciação Cúbica como o produto triplo do número alfabético que indica a raiz cúbica procurada.
Embora o nível de dificuldade seja praticamente o mesmo entre os dois tipos de radiciação, há dois fatores importantes a se considerar. Primeiramente, para uma mesma quantidade de dígitos de precisão para a raiz, a operação cúbica gera muito mais ordens de imprecisão. Por segundo, o modo de recorrência para as operações cúbicas não é tão óbvio quanto para as operações quadráticas, mas ainda assim são aplicáveis.
Radiciação Cúbica Exata
[editar | editar código-fonte]- Ex. 1:
Um produto triplo de números alfabéticos com 2 dígitos resultaria:
(ab x ab) x ab = (aa.(ab+ba).bb) x ab = aa.2ab.bb x ab = aaa.(aab+2aab).(2abb+abb).bbb = aaa.3aab.3abb.bbb
O radicando possui 3 ou 4 ordens hiperdecimais. Adequando-o ao produto alfabético:
Hiperdecimal | 01 | 09 | 27 | 27 | |
Transporte | 02 | 11 | 29 | 27 | 00 |
Radicando | 02 | 01 | 09 | 07 | |
Raiz | a | b | |||
1 | 3 | ||||
aaa
01 |
3aab
3b 09 |
3abb
3bb 27 |
bbb
27 |
Para a 1ª ordem, a = 1 ou a = 0. Como a = 1 garante os transportes, é o valor suficiente.
A equação hiperdecimal 3b = 11 só admite «b» menor ou igual a 3, pois 3.4 = 12 > 11. Como apontado, b = 3 resolve o sistema.
Como esperado, a linha do Transporte já informa a prova real.
- Ex. 2:
A radiciação solicitada, por mais incrível que possa parecer, também possui 2 dígitos na raiz.
Uma regra fundamental da radiciação é que a primeira ordem hiperdecimal pode possuir o máximo valor para a máxima possibilidade de primeiro dígito. No caso das radiciações cúbicas a 1ª ordem pode possuir até 9 x 9 x 9 = 81 x 9 = 72.09 = 729 como valor.
Logo, o hiperdecimal a ser considerado na radiciação será 592.07.00.04:
Hiperdecimal | 512 | 768 | 384 | 64 | |
Transporte | 592 | 807 | 390 | 64 | 00 |
Radicando | 592 | 07 | 00 | 04 | |
Raiz | a | b | |||
8 | 4 | ||||
aaa
512 |
3aab
192b 768 |
3abb
24bb 384 |
bbb
64 |
Para a 1ª ordem, se a = 8, 8 x 8 x 8 = 64 x 8 = 48.32 = 512, que garante transporte suficiente às demais ordens.
A 2ª equação hiperdecimal é 192b = 807. Se b = 5, 192 x 5 = 05.45.10 = 960 > 807.
Se b = 4, 192 x 4 = 04.36.08 = 768. 807 - 768 = 39. Para a 3ª ordem: 24 x 16 = 02.12 + 00.04.24 = 02.16.24 = 384. Isso garante o último transporte necessário.
- Ex. 3:
O produto triplo do número alfabético de 3 dígitos é:
(abc x abc) x abc = (aa.(ab+ba).(ac+bb+ca).(bc+cb).cc) x abc = aa.2ab.(bb+2ac).2bc.cc x abc =
aaa | 2aab | abb+2aac | 2abc | acc | |||
+ | aab | 2abb | bbb+2abc | 2bbc | bcc | ||
+ | aac | 2abc | bbc+2acc | 2bcc | ccc | ||
= | aaa | 3aab | 3abb | bbb | 3bbc | 3bcc | ccc |
3aac | 6abc | 3acc |
O radicando possui 7 ordens. Logo, sua representação hiperdecimal é a simplória:
Hiperdecimal | 01 | 27 | 264 | 1107 | 1848 | 1323 | 343 |
Transporte | 07 | 66 | 394 | 1305 | 1983 | 1357 | 343 |
Radicando | 07 | 06 | 04 | 05 | 03 | 07 | 03 |
Raiz | a | b | c | ||||
1 | 9 | 7 | |||||
aaa
01 |
3aab
3b 27 |
3abb
3bb 243 |
bbb
729 |
3bbc
243c 1701 |
3bcc
27cc 1323 |
ccc
343 | |
3aac
3c 21 |
6abc
6bc 54c 378 |
3acc
3cc 147 |
A 1ª ordem requer a = 1, pois, se a = 2, 2 x 2 x 2 = 8 > 7.
A 2ª ordem tolera b = 9; na 3ª ordem há 414 - 243 = 171 para transportar à 4ª ordem, e 1715 > 729. Logo, os transportes são suficientes.
Supondo c = 9:
Hiperdecimal | 01 | 27 | 270 | 1215 | 2430 | 2187 | 729 |
Transporte | 07 | 66 | 394 | 1245 | 303 (!) | ||
Radicando | 07 | 06 | 04 | 05 | 03 | 07 | 03 |
Raiz | a | b | c | ||||
1 | 9 | 9 | |||||
aaa
01 |
3aab
3b 27 |
3abb
3bb 243 |
bbb
729 |
3bbc
243c 2187 |
3bcc
27cc 2187 |
ccc
729 | |
3aac
3c 27 |
6abc
6bc 54c 486 |
3acc
3cc 243 |
Supondo c = 8:
Hiperdecimal | 01 | 27 | 267 | 1161 | 2136 | 1728 | 512 |
Transporte | 07 | 66 | 394 | 1275 | 1143 (!) | ||
Radicando | 07 | 06 | 04 | 05 | 03 | 07 | 03 |
Raiz | a | b | c | ||||
1 | 9 | 8 | |||||
aaa
01 |
3aab
3b 27 |
3abb
3bb 243 |
bbb
729 |
3bbc
243c 1944 |
3bcc
27cc 1728 |
ccc
512 | |
3aac
3c 24 |
6abc
6bc 54c 432 |
3acc
3cc 192 |
Como esperado, a linha do Transporte já indica a correção da raiz cúbica calculada. Os cálculos para as propostas de raiz 199 e 198 apontam para a validade do critério de se testar a adequação dos transportes para as duas ordens subsequentes à ordem em questão.
Radiciação Cúbica Exata com Dízimas
[editar | editar código-fonte]A Radiciação Cúbica de números com dízimas segue a mesma lógica da Radiciação Quadrática, bastando tomar a ordem de 10 adequada para a operação.
- Ex. 4:
O equivalente em base 10 do radicando é 13.430.356.633.10-6. Vale o mesmo princípio do que para a radiciação quadrática. Lá, a quantidade de dígitos do radicando era o dobro do número de dígitos da raiz menos 1; aqui é o triplo menos 1. Ou seja, uma raiz com 4 dígitos implica um radicando com até 4 x 3 - 1 = 11 dígitos, que é o caso.
Calculando o produto triplo do número alfabético de 4 dígitos:
abcd x abcd =
aa | ab | ac | ad | ||||
+ | ba | bb | bc | bd | |||
+ | ca | cb | cc | cd | |||
+ | da | db | dc | dd | |||
= | aa | 2ab | bb | 2bc | cc | 2cd | dd |
2ac | 2ad | 2bd |
abcd x (abcd x abcd) =
aaa | 2aab | abb
2aac |
2abc
2aad |
acc
2adb |
2acd | add | ||||
+ | aab | 2abb | bbb
2abc |
2bbc
2abd |
bcc
2bbd |
2bcd | bdd | |||
+ | aac | 2abc | bbc
2acc |
2bcc
2acd |
ccc
2bcd |
2ccd | cdd | |||
+ | aad | 2abd | bbd
2acd |
2bcd
2add |
ccd
2bdd |
2cdd | ddd | |||
= | aaa | 3aab | 3abb | bbb | 3acc | 3bcc | ccc | 3bdd | 3cdd | ddd |
3aac | 3aad | 3bbc | 3bbd | 3add | 3ccd | |||||
6abc | 6abd | 6acd | 6bcd |
Calculando a raiz do equivalente inteiro do radicando com 10 ordens hiperdecimais:
Parciais | 08 | 36 | 54
138 |
27
111 363 |
294
483 735 |
441
630 1218 |
343
637 1519 |
441
1470 |
1029 | 343 |
Hiperdecimal | 08 | 36 | 138 | 363 | 735 | 1218 | 1519 | 1470 | 1029 | 343 |
Transporte | 13 | 54 | 183 | 450 | 873 | 1385 | 1676 | 1576 | 1063 | 343 |
Radicando | 13 | 04 | 03 | 00 | 03 | 05 | 06 | 06 | 03 | 03 |
Raiz | a | b | c | d | ||||||
2 | 3 | 7 | 7 | |||||||
aaa
08 |
3aab
12b 36 |
3abb
6bb 54 |
bbb
27 |
3acc
6cc 294 |
3bcc
9cc 441 |
ccc
343 |
3bdd
9dd 441 |
3cdd
21dd 1029 |
ddd
343 | |
3aac
12c 84 |
3aad
12d 84 |
3bbc
27c 189 |
3bbd
27d 189 |
3add
6dd 294 |
3ccd
147d 1029 |
|||||
6abc
12bc 36c 252 |
6abd
12bd 36d 252 |
6acd
12cd 84d 588 |
6bcd
18cd 126d 882 |
Logo, a resultante é x = 2.377.10-2 = 23,77.
Embora os cálculos sejam um pouco mais trabalhosos do que na radiciação quadrática, o método ainda é factível manualmente.
Radiciação Cúbica Infinita
[editar | editar código-fonte]A radiciação cúbica infinita em relação à radiciação finita, assim como na radiciação quadrática, não representa um aumento significativo de dificuldade quanto aos cálculos. A única complicação aqui consiste na compreensão da expansão dos dígitos do modo de recorrência, pois a forma cúbica não é tão simples quanto a forma quadrática no que se refere ao aumento da precisão.
Para compreender os desenvolvimentos dos produtos triplos alfabéticos se deve recorrer à teoria dos Multinômios. Embora o multinômio se dê em previsão da potenciação da soma de incógnitas, ela se ajusta ao cálculo dos índices das ordens hiperdecimais em relação ao número alfabético que representa a raiz de interesse.
Teoria Multinomial Clássica:
com atendendo à condição de que
O Multinômio Hiperdecimal é concebido a partir das possibilidades de combinação da incógnita aumentada em relação às anteriores.
A teoria multinomial para 3 índices é:
Uma vez que 3! = 3.2 = 6, os índices que acompanham as ordens só podem ter 3 possibilidades, pois, como k1 + k2 + k3 = 3, os «k» só podem se originar da combinação aleatória dos trios (3,0,0), (2,1,0) ou (1,1,1). As combinações do trio 3-0-0 tem fatorial 6, ou seja, índice 1 às ordens hiperdecimais; o trio 2-1-0 tem fatorial 2, gerando índice 3; o trio 1-1-1 tem fatorial 1, gerando índice 6.
As 2 primeiras ordens assim se apresentariam no modo de recorrência:
a | aaa | |||
b | 3aab | 3abb | bbb |
As 3 primeiras ordens:
a | aaa | ||||||
b | 3aab | 3abb | bbb | ||||
c | 3aac | 6abc | 3acc
3bbc |
3bcc | ccc |
As 4 primeiras ordens:
a | aaa | |||||||||
b | 3aab | 3abb | bbb | |||||||
c | 3aac | 6abc | 3acc
3bbc |
3bcc | ccc | |||||
d | 3aad | 6abd | 6acd
3bbd |
3add
3bcd |
3bdd
3ccd |
3cdd | ddd |
As 5 primeiras ordens:
a | aaa | ||||||||||||
b | 3aab | 3abb | bbb | ||||||||||
c | 3aac | 6abc | 3acc
3bbc |
3bcc | ccc | ||||||||
d | 3aad | 6abd | 6acd
3bbd |
3add
3bcd |
3bdd
3ccd |
3cdd | ddd | ||||||
e | 3aae | 6abe | 6ace
3bbe |
6ade
6bce |
3aee
6bde 3cce |
3bee
6cde |
3cee
3dde |
3dee | eee |
As 6 primeiras ordens:
a | aaa | |||||||||||||||
b | 3aab | 3abb | bbb | |||||||||||||
c | 3aac | 6abc | 3acc
3bbc |
3bcc | ccc | |||||||||||
d | 3aad | 6abd | 6acd
3bbd |
3add
6bcd |
3bdd
3ccd |
3cdd | ddd | |||||||||
e | 3aae | 6abe | 6ace
3bbe |
6ade
6bce |
3aee
6bde 3cce |
3bee
6cde |
3cee
3dde |
3dee | eee | |||||||
f | 3aaf | 6abf | 6acf
3bbf |
6adf
6bcf |
6aef
6bdf 3ccf |
3aff
6bef 6cdf |
3bff
6cef 3ddf |
3cff
6def |
3dff
3eef |
3eff | fff |
Com tais modos de recorrência se pode operar as radiciações cúbicas até a ordem de precisão que se deseje.
- Ex. 5:
A 1ª ordem atende à condição de aaa < 243.
Se a = 9, aaa = 9 x 81 = 729 > 243. Se a = 8, aaa = 8 x 64 = 48.32 = 512 > 243.
Se a = 7, aaa = 7 x 49 = 28.63 = 343 > 243. Se a = 6, aaa = 6 x 36 = 18.36 = 216 < 243.
Logo, a = 6 é a resposta adequada à primeira incógnita. Transporta-se 243 - 216 = 27. A segunda ordem, no modo de recorrência, assim é determinada:
Hiperdecimal | 216; | 216 | 72 | 08 |
Transporte | 243; | 278 | 625 | |
Radicando | 243; | 08 | 05 | |
Raiz | a, | b | ||
6, | 2 | |||
3aab
108b 216 |
3abb
18bb 72 |
bbb
08 |
A principal equação a se resolver é 108b = 278. Se b = 3, 108 x 3 = 324 > 278. Com b = 2 os transportes se tornam suficientes.
Parciais | 72
504 |
08
296 |
288
336 |
96 | 64 |
Hiperdecimal | 504 | ||||
Transporte | 625 | 1210 | |||
Radicando | 05 | ||||
Raiz | a, | b | c | ||
6, | 2 | 4 | |||
3aac
108c 432 |
6abc
36bc 72c 288 |
3acc
18cc 288 |
3bcc
6cc 96 |
ccc
64 | |
3bbc
12c 48 |
A equação hiperdecimal a se resolver é 108c = 625 - 72 = 553. Se c = 5, 108 x 5 = 540 > 553. Com c = 4 os transportes se tornam suficientes.
Parciais | 296
1052 |
336
840 |
96
1104 1188 |
64
946 1282 |
294
630 |
588 | 343 |
Hiperdecimal | 1052 | ||||||
Transporte | 1210 | 1580 | |||||
Radicando | |||||||
Raiz | a, | b | c | d | |||
6, | 2 | 4 | 7 | ||||
3aad
108d 756 |
6abd
36bd 72d 504 |
6acd
36cd 144d 1008 |
3add
18dd 882 |
3bdd
6dd 294 |
3cdd
12dd 588 |
ddd
343 | |
3bbd
12d 84 |
6bcd
12cd 48d 336 |
3ccd
48d 336 |
A equação hiperdecimal a se resolver é 108d = 1210 - 288 = 922.
Se d = 9, 108 x 9 = 972 > 922.
Se d = 8, 108 x 8 = 864 < 922, transportando 58. Na 2ª ordem se tem 72d = 72 x 8 = 576 que somado a 336 da parcial anterior resultaria 912. Mas o limite da ordem é 580, o que torna a opção inviável.
Parciais | 840
1380 |
1188
1548 |
1282
2002 2062 |
630
1890 2130 |
588
1038 1458 1698 |
343
493 1333 |
300
1035 |
525 | 125 |
Hiperdecimal | 1380 | ||||||||
Transporte | 1660 | 2800 | |||||||
Radicando | |||||||||
Raiz | a, | b | c | d | e | ||||
6, | 2 | 4 | 7 | 5 | |||||
3aae
108e 540 |
6abe
36be 72e 360 |
6ace
36ce 144e 720 |
6ade
36de 252e 1260 |
3aee
18ee 450 |
3bee
6ee 150 |
3cee
12ee 300 |
3dee
21ee 525 |
eee
125 | |
3bbe
12e 60 |
6bce
12ce 48e 240 |
6bde
12de 84e 420 |
6cde
24de 168e 840 |
3dde
147e 735 |
|||||
3cce
48e 240 |
A equação hiperdecimal a se resolver é 108e = 1660 - 840 = 820. Se e = 8, 108 x 8 = 864 > 820.
Se e = 7, 108 x 7 = 756 < 820. Na segunda ordem se transporta (820 - 756 = 64) x 10 = 640, mas teria de atender o 1188 da parcial anterior.
Se e = 6, 108 x 6 = 648. Transporta-se (820 - 648 = 172) x 10 = 1720, que satisfaz a parcial anterior. 72e = 432, 1188 + 432 = 1620. Transporta-se (1720 - 1620 = 100) x 10 = 1000 para a 3ª ordem, mas é insuficiente ante o 1282 da parcial anterior.
Portanto, a raiz cúbica parcial de 243,85 é 6,2475.
A prova real é: 216 ; 216.504.1052.1380.1548.2062.2130.1698.1333.1035.525.125 →
243 ; 278|624|1207|1557|1777|2293|2314|1842|1441|1088|537|125 → 243,847 773 421 875
O erro é inferior a 0,003 ou, mais precisamente, 0,002 226 578 125.