Notas de Mecânica/Momentum de Inércia

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Energia Cinética de Rotação[editar | editar código-fonte]

Analisaremos aqui a energia cinética de rotação de um corpo rígido.

Movimento circular de uma partícula única[editar | editar código-fonte]

Consideremos uma partícula de massa em um movimento circular de raio com velocidade de em torno de um eixo fixo. A partícula é mantida nesta trajetória circular por meio de uma haste fina e sem massa, a função desta haste é apenas manter a partícula nesta trajetória circular.


Circ mom inercia1.svg


A energia cinética de rotação da partícula é simplesmente:



Lembremos agora a relação entre variaveis lineares e angulares no movimento de rotação, em particular o que relaciona a velocidade e a velocidade angular de uma partícula a saber:

Desta forma podemos reescrever a energia cinética como:


Movimento circular de um corpo rígido composto por duas partículas[editar | editar código-fonte]

Consideremos agora o movimento de rotação de duas partículas e respectivamente de massas e unidas por uma haste sem massa. O eixo fixo de rotação encontra-se a uma distância da partícula e a uma distância da partícula , como ilustrado na figura. Cada partícula terá sua trajetória circular particular e portanto a velocidade de cada partícula em módulo será diferente.

Circ mom inercia2.svg

A energia cinética de rotação deste sistema é:

Contudo as partículas terão a mesma velocidade angular , e desta forma podemos usar: Logo podemos reescrever a energia cinética como:



Movimento circular de um corpo rígido composto por partículas[editar | editar código-fonte]

Consideramos agora a rotação de um corpo rigido em forma de uma placa fina (sem espessura) em torno de um eixo fixo no sentido antihorário, indicado na figura, que é perpendicular ao plano desta placa. Esta placa é composta de partículas cada uma localizada a do eixo e com massa .

Circ mom inercia3.svg

A energia cinética deste sistema de $N$ partículas é dada pela soma da energia cinética das partículas que o compoem:

Usamos agora que:


De maneira compacta:


Definição do momento de inércia[editar | editar código-fonte]

Acabamos de obter a energia cinética de um corpo que é composto de partículas, que reescrevemos como:

onde:


Se agora compararmos com a energia de translação deste corpo:

onde


Podemos interpretar equação anterior como sendo uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de rotação ou mudar este movimento, assim como a massa do corpo é uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de translação ou mudar o movimento de translação do corpo. Chamaremos então a quantidade de momentum de inércia do corpo ou inércia rotacional do corpo.

A unidade desta quantidade no SI é o

Propriedades do Momentum de inércia[editar | editar código-fonte]

O exemplo a seguir tem por intuito exemplificar uma das características do momentum de inércia:


Consideremos um corpo que é composto por duas partículas de massa e que estão conectadas por uma haste fina e sem massa de comprimento .

Mom inercia exemp0.svg

a) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 1 e é perpendicular a haste?

Mom inercia exemp1.svg



b) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 2 e é perpendicular a haste?

Mom inercia exemp2.svg


Resumindo os dois casos :


Mom inercia exemp1.svg
Mom inercia exemp2.svg




Notamos que um mesmo corpo pode ter momenta de inércia diferentes dependendo do eixo em torno do qual estamos girando o corpo. No exemplo anterior a inércia rotacional é maior em torno do eixo que passa pela partícula 1 do que o eixo que passa pela partícula 2, ou seja: O momentum de inércia é uma quantidade que depende do eixo que estamos girando o corpo.

Uma pergunta natural que podemos fazer agora é:


Em torno de que eixo a inércia rotacional possivel? Será o eixo que passa pela partícula 2 realmente a menor?

Para responder esta pergunta consideremos um caso genérico.


Mom inercia exempgeral.svg


Cosideremos um eixo de rotação genérico distante da partícula 1 e perpendicular a haste.

a) Qual é o momentum de inércia em torno deste eixo genérico.



b) Para qual valor de teremos um mínimo de ?

Usaremos as condições de mínimo que você aprendeu nas suas aulas de cálculo:






Logo o calculado é realmente um mínimo



Notemos que este valor de é a posição do centro de massa colocando nossa origem sobre a partícula 1: Lembremos que a posição do CM de um sistema de partícula é dado por

Logo podemos concluir que o eixo que nos dá o menor momentum de inércia possível é aquele que passa pelo centro de massa do corpo.

E para nosso exemplo este momento de inércia mínimo é: