Notas de Mecânica/Definição do Centro de Massa

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Caso de Duas partículas[editar | editar código-fonte]

Sabemos de nosso estudo de dinâmica que para uma partícula, ou um corpo que se comporta como se fosse uma partícula:

Sabemos também que:

e também que:

desta forma:

ou seja :



e desta maneira podemos reescrever a segunda lei de Newton como :


Consideremos agora que temos 2 partículas de forma que uma partícula exerce uma força sobre a outra ( e pela terceira lei de Newton a reciproca sera verdadeira) e sobre cada uma delas temos também uma força externa aplicada como mostrado na figura abaixo:

Sistema particulas1.svg

Então temos para a partícula 1 :

Para a partícula 2:


Temos então:


Somando as equações de ambos os lados temos:

Pela terceira lei de Newton sabemos que :

desta forma:

Usando a definição da aceleração:

assumimos que e não variam no tempo e desta maneira pode mos escrever:

Como a soma de derivadas e a derivada da soma:


Multiplicando e divindo o lado direito da equação pela massa total do sistema  :

Se as massas das partículas não variam no tempo a sua soma também não vai variar no tempo:

Notemos que a dimensão do termo tem dimensão de posição e segundo a equação acima esta quantidade se move como uma particula com massa igual a massa do sistema e como se todad a FORÇA EXTERNA fosse aplicada. Chamaremos esta quantidade de posição do centro de massa, ou seja:


Caso de N partículas[editar | editar código-fonte]

Podemos generalizar esta quantidade se considerarmos um sistema de partículas:


onde

ou de forma compacta:

Lembremos que esta expressão é uma expressão vetorial, podemos apartir desta obter as coordenadas do centro de massa, para o caso em 3 dimensões teremos:


Velocidade e Aceleração do centro de massa[editar | editar código-fonte]

Se o centro de massa do sistema se mover podemos calcular a velocidade do centro de massa pelo mesmo procedimento que adotamos no calculo da velocidade de uma partícula única isto é pela expressão:

se usarmos a expressão para o CM da partítula em termos da posição de cada partícula teremos:

Usando o fato das derivada da soma ser a soma das derivadas e também o fato que as massas das partículas não variarem no tempo teremos:

Ora, bem sabemos que é a velocidade da partícula desta forma obtemos que:

O mesmo tipo de raciocinio podemos fazer para obtemos a aceleração do CM :

se usarmos a expressão para a velocidade do CM da partítula que acabamos de obter:

Uma vez mais podemos usar o que estudamos na parte de cinemática de uma única partícula ao identificar como a aceleração da partícula , logo:


Novamente chamamos a atenção quanto a natureza vetorial das expressões da velocidade e da aceleração do CM, e igualmente ao que fizemos com o vetor posição centro de massa podemos agora escrever as coordenadas dos vetores velocidade e aceleração do CM do sistema: