Sabemos de nosso estudo de dinâmica que para uma partícula, ou um corpo que se comporta como se fosse uma partícula:
Sabemos também que:
e também que:
desta forma:
ou seja :
e desta maneira podemos reescrever a segunda lei de Newton como :
Consideremos agora que temos 2 partículas de forma que uma partícula exerce uma força
sobre a outra ( e pela terceira lei de Newton a reciproca sera verdadeira) e sobre cada
uma delas temos também uma força externa aplicada como mostrado na figura abaixo:
Então temos para a partícula 1 :
Para a partícula 2:
Temos então:
Somando as equações de ambos os lados temos:
Pela terceira lei de Newton sabemos que :
desta forma:
Usando a definição da aceleração:
assumimos que e não variam no tempo e desta maneira pode mos escrever:
Como a soma de derivadas e a derivada da soma:
Multiplicando e divindo o lado direito da equação pela massa total do sistema :
Se as massas das partículas não variam no tempo a sua soma também não vai variar no tempo:
Notemos que a dimensão do termo tem dimensão de posição e segundo a equação acima esta quantidade se move como uma particula com massa igual a massa do sistema e como se todad a FORÇA EXTERNA fosse aplicada. Chamaremos esta quantidade de posição do centro de massa, ou seja:
Podemos generalizar esta quantidade se considerarmos um sistema de partículas:
onde
ou de forma compacta:
Lembremos que esta expressão é uma expressão vetorial, podemos apartir desta obter as coordenadas do centro de massa, para o caso em 3 dimensões teremos:
Se o centro de massa do sistema se mover podemos calcular a velocidade do centro de massa pelo mesmo procedimento que adotamos no calculo da velocidade de uma partícula única isto é pela expressão:
se usarmos a expressão para o CM da partítula em termos da posição de cada partícula teremos:
Usando o fato das derivada da soma ser a soma das derivadas e também o fato que as massas das partículas não variarem no tempo teremos:
Ora, bem sabemos que é a velocidade da partícula desta forma obtemos que:
O mesmo tipo de raciocinio podemos fazer para obtemos a aceleração do CM :
se usarmos a expressão para a velocidade do CM da partítula que acabamos de obter:
Uma vez mais podemos usar o que estudamos na parte de cinemática de uma única partícula ao identificar como a aceleração da partícula , logo:
Novamente chamamos a atenção quanto a natureza vetorial das expressões da velocidade e da aceleração do CM, e igualmente ao que fizemos com o vetor posição centro de massa podemos agora escrever as coordenadas dos vetores velocidade e aceleração do CM do sistema: