Números primos/Definição

Conceitos básicos

Divisibilidade

Dizemos que um inteiro A é divisível por um inteiro B quando existe um inteiro C tal que A = BC. Neste caso, dizemos ainda que B é um divisor de A, ou que B divide A (escreve-se: $b|a$), ou que A é múltiplo de B.

Em particular, como para todo número A (sendo que $a\in \mathbb {R}$), tem-se $0=A\times 0,$ conclui-se que todo número é um divisor de zero. No entanto, considerando que se $B=0\times A,$ então $B=0,$ segue que o zero só é divisor de si mesmo.

Além disso, como todo número $A=1\times A,$ o número 1 é divisor de qualquer número inteiro A. Existem outros números inteiros com esta mesma propriedade (-1, A e -A). Tais números, por serem os únicos que são divisores de qualquer número inteiro A, recebem o nome especial de divisores triviais

Número primo

Dizemos que um número inteiro é primo quando só possui os divisores triviais, ou seja, só é divisível por 1 e por ele próprio (2 divisores positivos).

Número composto

Dizemos que um número inteiro é composto quando possui divisores não triviais.

Obs.: Conforme esta definição, o número 1 não pode ser declarado como primo nem composto, por possuir 1 divisor apenas.

Teorema fundamental da aritmética

Todos os números inteiros maiores do que 1 podem ser fatorados (divididos) em um produto único de números primos.

Dois fatos simples conhecidos

Dado qualquer número inteiro positivo P, diferente de 1:

1. P é primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros AB, então também divide A ou B (ou ambos).
2. P é primo se não puder ser decomposto em fatores P = AB, nenhum dos quais sendo 1 ou -1.

Conceitos associados

Conforme o número de dígitos de um número primo, pode-se referir a ele usando um destes nomes)

Primo titânico

Número primo que tenha 1000 dígitos ou mais.

Primo gigante

Número primo que tenha 10000 dígitos ou mais.

Megaprimo

Número primo que tenha mais de um milhão de dígitos.

Ao longo da história, também foram dados nomes especiais para números primos que possuem propriedades específicas. Por exemplo:

Primos de Mersenne

São primos da forma $2^{P}-1$, onde P é primo.

Primos gêmeos

Chamamos de primos gêmeos os que são separados apenas por um único número. Por exemplo, 11 e 13 são primos gêmeos, pois são separados apenas pelo número 12.

Pequeno Teorema de Fermat

Se P é um número primo e se A for qualquer número inteiro, então $A^{P}=A(modP)$. Se P não dividir A, então $A^{(P-1)}=1(modP)$.

Alguém poderia imaginar que a afirmação reciproca também é verdadeira, mas a verdade é que não são apenas os números primos que satisfazem a equação anterior. Chamamos pseudoprimos, ou primos prováveis compostos, aos números que satisfazem o Pequeno Teorema de Fermat, mas que são na realidade compostos.