Números primos/A reta numérica numa base infinita

Olhe de novo

Vamos olhar de novo a reta numérica... Em vez de considerar os símbolos numéricos que estão ali como sempre fizemos vamos imaginá-los como fizemos no tópico anterior a fim de treinarmos nossa mente com a nova notação. Para facilitar nossa assimilação dos novos conceitos vamos olhar apenas para os números positivos. Assim temos:

"0","1","2","3",...

Quando chegamos ao "9" encontraremos o tradicional problema... O que fazer ao chegar ao nosso "10"? Ora, não vamos fazer nada... Usemos o "10" como se fosse um símbolo. Apenas lembre-se de que ele representa um número de uma dimensão (que está posicionado sobre uma reta) e que representa um número primo elevado à décima potência.

O número "11"

Ao chegarmos no "11" nos deparamos com uma questão. O que é o onze?

1. O onze (11) que nós conhecemos é um número primo.
2. O "11" que definimos é a décima primeira potência de um número primo.

Mas o símbolo acima também pode representar algo diferente. Vejamos o que.

Soma numa base infinita

Conforme explicado os números em nossa nova reta representam uma classe. Assim, o "1" pode ser o nosso 2, ou o nosso 3, ou mesmo o nosso 11. Assim o que representa "1"+"1" em nossa base?

Depende. Se considerarmos o "1" como numa mesma dimensão (tendo partido de um mesmo primo) "1"+"1" o resultado será "2". Isto está de acordo com a nossa multiplicação. Onde 2 * 2 é 4, 3*3 = 9, 5 *5 = 25, etc...

Agora se um dos "1"s partiu de um primo e o outro de outro primo não podemos somar nossos "1", que são, na verdade expoentes de bases diferentes. Neste caso o resultado de nossa soma é "11". Só que este número "11" tem duas dimensões distintas... Pode ser a do 2 e do 3, do 2 e do 5 e assim por diante.

O que é mesmo o "11"?

Voltando ao nosso "11" temos, agora, as três definições do símbolo "11":

1. O onze (11) que nós conhecemos e que é um número primo (em nossa base representado por "1").
2. O "11" que definimos como a décima primeira potência de um número primo. É um número de uma dimensão. Ao qual, se nos basearmos no primo 2, nos acostumamos a chamar de 2048; se nos basearmos no primo 3, nos acostumamos a chamar de 177147; e assim por diante...
3. O "11" que provem de duas dimensões diferentes e que tem, na realidade, duas dimensões.

Duas dimensões

Desta maneira ao combinarmos os números existentes em duas retas, geradas por dois primos, formaremos um plano, onde ficarão posicionados os números provenientes da soma de números de duas dimensões diferentes.

São exemplos de tais números o "11", "12", "23", "34" com duas dimensões.

No caso do "11" se os primos envolvidos forem o 2 e o 3, o valor do número é o nosso 6. Sendo assim podemos dizer que o nosso 6 possui duas dimensões. Uma relativa ao nosso 2 e outra relativa ao nosso três. Ao representarmos o 2 e o 3 em nossa notação da base infinita, a saber "1" e "1" o resultado de nossa "adição" em base infinita (que é equivalente à multiplicação que conhecemos) nos dá como resultado "11" em nossa base infinita, uma representação coerente para números que possuem duas dimensões.

Redundância

Notem ainda que, neste contexto, "23" e "32" representam a mesma classe, uma vez que, ${(2^{3})*(5^{2})}$, para citarmos um exemplo, é igual a ${(5^{2})*(2^{3})}$, ou seja "32"="23".

Faltam números na reta

Como seria a representação dos números nesta nova base se usássemos a reta numérica com a qual estamos acostumados? A seqüência numérica ficaria assim....

"0","1","2",...,"9","10","11","12",....,"19","20","21","22",...

Ou seja, se pareceria coma reta numérica que estamos acostumados a ver.

Só que estes símbolos das classes que criamos, se transformados em seus valores numéricos, para cada primo, gerariam apenas as potências dos números primos...

Por exemplo, para o primo 2 teríamos:

1,2,4,8,16,32,64,128, etc...

Para o primo 3 teríamos:

1,3,9,27,81,243, etc....

Assim, podemos perceber que dizer que um número tem duas dimensões significa dizer que ele não está sobre a nossa reta de classes. Na realidade uma classe numérica de duas dimensões como nosso "11" tem de estar sobre um plano, gerado pelas duas retas dos primos que entram em sua fatoração.

Por exemplo, se o "11" significar 2*3, ou seja 6, ele estará no plano gerado pelas retas relativas ao 2 e ao 3.