Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E8

• Teoria
• Voltar para a lista de exercícios resolvidos

Enunciado

Calcular a perda de carga em um escoamento de água através de um tubo de ferro de 50 m de comprimento e diâmetro de 60 mm, considerando que a vazão é de 10 l/s.

Solução

Precisamos primeiro calcular o Número de Reynolds, para saber se o escoamento é laminar ou turbulento:

$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho _{0}\;{\bar {v}}\;D}{\mu _{0}}}\;=\;{\frac {\rho _{0}\;\Phi \;D}{A\;\mu _{0}}}\;=\;{\frac {4\rho _{0}\;\Phi \;D}{\pi D^{2}\;\mu _{0}}}\;=\;{\frac {4\rho _{0}\;\Phi }{\pi D\;\mu _{0}}}$

$N_{Re}\;=\;{\frac {4\cdot 1000\;kg/m^{3}\cdot 10\;l/s}{3.14\cdot 60\;mm\cdot 0.0010\;kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}\;=\;{\frac {4\cdot 1000\;kg/m^{3}\cdot 0.01\;m^{3}/s}{3.14\cdot 0.060\;m\cdot 0.0010\;kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}\;=\;210000$

O escoamento é turbulento. A rugosidade de um tubo de ferro, de acordo com a tabela anexa ao Digrama de Moody, é de 0.15 mm. A rugosidade relativa é

$N_{e}\;=\;{\frac {e}{D}}\;=\;{\frac {0.15\;mm}{60\;mm}}\;=\;0.0025$

Para simplificar, vamos avaliar o fator de fricção por meio da fórmula proposta por Miller, uma vez que a fórmula de Blasius só pode ser empregada para Número de Reynolds até 100000:

$N_{f}\;=\;0.25\left[log\left({\frac {e}{3.7\;D}}\;+\;5.74\;N_{Re}^{-0.9}\right)\right]^{-2}\;=\;0.25\left[log\left({\frac {0.15\;mm}{3.7\cdot 60\;mm}}\;+\;5.74\cdot 210000^{-0.9}\right)\right]^{-2}$

$\;=\;0.026$

Para validar a aproximação, joguemos esse valor na fórmula de Colebrook

$N_{f}^{-{\sqrt {2}}}\;=\;-2.0\;log\left({\frac {1}{3.7}}{\frac {e}{D}}\;+\;{\frac {2.51\;N_{f}^{-{\sqrt {2}}}}{N_{Re}}}\right)$

$0.026^{-{\frac {1}{2}}}\;=\;-2.0\;log\left({\frac {1}{3.7}}\cdot 0.0025\;+\;{\frac {2.51\;0.026^{-{\frac {1}{2}}}}{210000}}\right)$

$6.2\;=\;6.3$

ou seja, o erro acarretado pelo uso da fórmula de Miller é pequeno.

De acordo com o Diagrama de Moody, para a rugosidade relativa de 0.0025 e N_Re de 210000, o fator de atrito teria um valor realmente próximo de 0.026.

A perda de carga será dada por

$\Delta H\;=\;-\;{\frac {1}{2}}\;N_{f}\;{\frac {L}{D}}\;{\bar {v}}^{2}\;=\;-\;{\frac {1}{2}}\;N_{f}\;{\frac {L}{D}}\;\left({\frac {4\Phi }{\pi D^{2}}}\right)^{2}\;=\;-\;{\frac {1}{2}}\;N_{f}\;{\frac {16\Phi ^{2}\;L}{\pi ^{2}D^{5}}}$

$\Delta H\;=\;-8\cdot \;0.026\cdot {\frac {(10\;l/s)^{2}\cdot 50\;m}{3.14^{2}\cdot (60\;mm)^{5}}}\;=\;-8\cdot \;0.026\cdot {\frac {(0.01\;m^{3}/s)^{2}\cdot 50\;m}{3.14^{2}\cdot (0.06\;m)^{5}}}$

$\;=\;-130\;m^{2}/s^{2}$

A perda de pressão será dada por

$\Delta p\;=\;\rho _{0}\;\Delta H\;=\;1000\;kg/m^{3}\cdot -130\;m^{2}/s^{2}\;=\;-130k\;Pa$