Mecânica Newtoniana/Conservação do Momento Linear

A lei da conservação da quantidade de movimento linear (também chamado de momentum) é uma lei fundamental da física. A primeira e terceira leis de Newton derivam dela (este é um princípio conhecido antes mesmo da publicação dos "Principia", obra prima de Newton). A partir dela também se obtém uma forma mais geral da segunda lei de Newton, permitindo que sistemas com massa variável (como, por exemplo, foguetes) sejam descritos de forma adequada.

Além disso, possui uma influência histórica na física, pois, a partir de um desentendimento sobre a sua definição, chegou-se à lei da conservação da energia mecânica, que depois, com os trabalhos de Joule e de Mayer foi generalizada como Lei da Conservação da Energia.

Sistemas isolados

Um sistema é dito isolado se não há força resultante sobre ele. Entretanto, esse é um problema difícil de ser resolvido. Afinal, até a atração gravitacional da estrela mais longínqua exerce uma influência nos corpos da Terra. Então, na prática, o sistema é considerado isolado se os efeitos dos corpos não pertencentes ao sistema são ínfimos se comparados com as interações dentro do próprio sistema.

Definição da quantidade de movimento

Define-se como quantidade de movimento de um corpo ($p$, embora em outros livros seja designada como $Q$), o produto de sua massa por sua velocidade: $p=mv$.

A quantidade de movimento de um sistema pode ser obtida somando-se as quantidades de movimento de cada uma de suas partes. Deve-se lembrar, entretanto, que quantidade de movimento é uma grandeza vetorial, e portanto deve-se adicionar vetorialmente ao se fazer esse cálculo.

Lei da conservação da quantidade de movimento

Em um sistema isolado, a quantidade de movimento total se conserva.

Relação com a primeira lei de Newton

Voltemos à primeira lei de Newton: Um corpo permanece em repouso ou continua a se mover num movimento retilíneo uniforme e na mesma direção se todas as forças agindo sobre ele estão em equilíbrio.

Ora, se todas as forças agindo sobre um corpo estão em equilíbrio, então o sistema é isolado. Portanto, a primeira lei de newton afirma que a velocidade de um corpo isolado continua constante. Como $p=mv$, então $p$ é constante, o que concorda com a lei de conservação da quantidade de movimento.

Relação com a terceira lei de Newton

Imagine um sistema que consista em dois corpos $A$ e $B$. Se a quantidade de movimento inicial de $A$ é $p_{A}$ e a de $B$ é $p_{B}$, a lei da conservação da quantidade de movimento afirma $p_{A}+p_{B}=p_{A}'+p_{B}'$

Suponha que $p_{A}'=p_{A}+k$ e $p_{B}'=p_{B}+i$. Então temos: $p_{A}+p_{B}=p_{A}'+p_{B}'$, $p_{A}+p_{B}=p_{A}+k+p_{B}+i$ e $k=-i$.

Ou seja, a quantidade de movimento recebida por um corpo é de igual magnitude mas de sinal oposto à que foi ganha pelo outro. Portanto, a conservação da quantidade de movimento implica na validade da terceira lei de newton, pois as ações foram iguais em módulo e contrárias em sentido (sinal).

A demonstração matemática acima entretanto, não é uma prova completa da relação da conservação da quantidade de movimento e a terceira lei de Newton. Mais abaixo, de uma forma muito similar, provaremos completamente essa relação.