Matemática elementar/Sistemas de equações algébricas

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Definição[editar | editar código-fonte]

Sistemas de equações algébricas são conjuntos de equações algébricas. Em tais equações, admite-se qualquer operação matemática. Por exemplo, em

ocorre o produto de variáveis.

Diferentemente de um sistema de equações lineares (formado por linhas - retas), nas equações algébricas os gráficos têm inúmeras formas. Estes apresentam essencialmente curvas, e podem ter várias soluções. O número de soluções de um sistema de equações algébricas é dado pelo número de intersecções que existem num gráfico. Exemplos:

O sistema

não tem solução.
O sistema linear

tem uma solução.
O sistema

tem duas soluções.
O sistema

tem três soluções.
O sistema

tem quatro soluções.
O sistema

tem cinco soluções.
O sistema

tem seis soluções.
O sistema

tem oito soluções.

Resolução[editar | editar código-fonte]

A solução de um sistema com duas equações são as coordenadas das intersecções nos gráficos. Portanto, a solução de x e y em um sistema qualquer é (x, y) da intersecção. Para um sistema com três variáveis, pode-se considerar um terceiro plano z para o gráfico.

Para determinar tais coordenadas, utiliza-se o método da substituição. Por exemplo, no sistema

isola-se uma das variáveis:

Em seguida, substitui-se este novo resultado na equação seguinte:

Eliminada uma variável, pode-se descobrir o valor da primeira:


Para descobrirmos o valor de y, neste caso, utilizaremos a famosa fórmula de Bhaskara:

Substituiremos y por tais valores na primeira equação:

Assim, temos duas soluções para este sistema: (2; 3) e (3; 2).

Sistemas com várias equações[editar | editar código-fonte]

Um sistema com n equações pode possuir até n variáveis para que se possa determinar o valor de cada incógnita. Nestes casos, as intersecções devem ocorrer entre todas as equações envolvidas. Exemplo:

Primeiramente, isolaremos uma incógnita em uma das equações. Optaremos pela primeira equação, por ser mais simples. Também, resolveremos a terceira equação:

Substituiremos a incógnita isolada x por -y nas demais equações:

Realizando a fórmula de Bhaskara, obteremos as raízes 0 e 1 na segunda equação. Na terceira, teremos 0 e -2. Já que a solução de um sistema é a intersecção dos gráficos, as raízes devem repetir em todas as equações. Portanto, a única raiz compatível é zero. Substituiremos os resultados compatíveis (neste caso, zero) em uma equação qualquer. Optaremos pela primeira:

Assim, obtivemos o primeiro par ordenado: (0; 0). Agora, substituiremos a incógnita -y por x (ou y por -x) na segunda e na terceira equação:

Através da fórmula de Bhaskara, obteremos as raízes 0 e -1 na segunda e na terceira equação. Deste modo, ambos os resultados são compatíveis. Pelo fato de já termos substituído 0 na primeira equação no processo anterior (em que se descobriu o primeiro par ordenado), resta apenas substituir por -1. Optaremos, novamente, pela primeira equação:

Conclui-se que (-1; 1) também é uma solução do sistema.

Exercícios[editar | editar código-fonte]


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