Matemática elementar/Sistemas de equações algébricas

Definição

Sistemas de equações algébricas são conjuntos de equações algébricas. Em tais equações, admite-se qualquer operação matemática. Por exemplo, em

$\left\{{\begin{matrix}x+y=5\\xy=6\end{matrix}}\right.$

ocorre o produto de variáveis.

Diferentemente de um sistema de equações lineares (formado por linhas - retas), nas equações algébricas os gráficos têm inúmeras formas. Estes apresentam essencialmente curvas, e podem ter várias soluções. O número de soluções de um sistema de equações algébricas é dado pelo número de intersecções que existem num gráfico. Exemplos:

O sistema ${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=2\\x-y=-3\end{cases}}$ não tem solução.	O sistema linear ${\begin{cases}x-y=0\\2x+y=0\end{cases}}$ tem uma solução.	O sistema ${\begin{cases}x-y=0\\\log x-y=3\end{cases}}$ tem duas soluções.	O sistema ${\begin{cases}x^{2}+y=0\\x^{2}+y^{2}+2y=0\end{cases}}$ tem três soluções.
O sistema ${\begin{cases}x^{2}+2y^{2}=8\\x^{2}-y^{2}=1\end{cases}}$ tem quatro soluções.	O sistema ${\begin{cases}x^{3}-3x^{2}-y=-1\\-x^{2}+y^{2}=1\end{cases}}$ tem cinco soluções.	O sistema ${\begin{cases}x^{3}-3x^{2}-y=-2\\x^{2}+4y^{2}=8\end{cases}}$ tem seis soluções.	O sistema ${\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-7y=0\\|x^{2}-4|-y=0\end{cases}}$ tem oito soluções.

Resolução

A solução de um sistema com duas equações são as coordenadas das intersecções nos gráficos. Portanto, a solução de x e y em um sistema qualquer é (x, y) da intersecção. Para um sistema com três variáveis, pode-se considerar um terceiro plano z para o gráfico.

Para determinar tais coordenadas, utiliza-se o método da substituição. Por exemplo, no sistema

$\left\{{\begin{matrix}x+y=5\\xy=6\end{matrix}}\right.$

isola-se uma das variáveis:

${\begin{cases}x+y=5\to x=5-y\\xy=6\end{cases}}$

Em seguida, substitui-se este novo resultado na equação seguinte:

$\left\{{\begin{matrix}x=5-y\\(5-y)y=6\end{matrix}}\right.$

Eliminada uma variável, pode-se descobrir o valor da primeira:

$\left\{{\begin{matrix}x=5-y\\-y^{2}+5y=6\end{matrix}}\right.$

Para descobrirmos o valor de y, neste caso, utilizaremos a famosa fórmula de Bhaskara:

${\frac {-5\pm {\sqrt {25-4\times (-1)\times (-6)}}}{-2}}={\frac {-5\pm 1}{-2}}\Rightarrow S=\lbrace 2;3\rbrace$

Substituiremos y por tais valores na primeira equação:

$x+2=5\to x=3$

$x+3=5\to x=2$

Assim, temos duas soluções para este sistema: (2; 3) e (3; 2).

Sistemas com várias equações

Um sistema com n equações pode possuir até n variáveis para que se possa determinar o valor de cada incógnita. Nestes casos, as intersecções devem ocorrer entre todas as equações envolvidas. Exemplo:

${\begin{cases}x+y=0\\x^{2}-y=0\\x^{2}+(y-1)^{2}=1\end{cases}}$

Primeiramente, isolaremos uma incógnita em uma das equações. Optaremos pela primeira equação, por ser mais simples. Também, resolveremos a terceira equação:

${\begin{cases}x=-y\\x^{2}-y=0\\x^{2}+y^{2}-2y=0\end{cases}}$

Substituiremos a incógnita isolada x por -y nas demais equações:

${\begin{cases}x=-y\\(-y)^{2}-y=0\\(-y)^{2}+y^{2}-2y=0\end{cases}}$

Realizando a fórmula de Bhaskara, obteremos as raízes 0 e 1 na segunda equação. Na terceira, teremos 0 e -2. Já que a solução de um sistema é a intersecção dos gráficos, as raízes devem repetir em todas as equações. Portanto, a única raiz compatível é zero. Substituiremos os resultados compatíveis (neste caso, zero) em uma equação qualquer. Optaremos pela primeira:

$x=-(0)\to x=0$

Assim, obtivemos o primeiro par ordenado: (0; 0). Agora, substituiremos a incógnita -y por x (ou y por -x) na segunda e na terceira equação:

${\begin{cases}y=-x\\x^{2}+x=0\\2x^{2}+2x=0\end{cases}}$

Através da fórmula de Bhaskara, obteremos as raízes 0 e -1 na segunda e na terceira equação. Deste modo, ambos os resultados são compatíveis. Pelo fato de já termos substituído 0 na primeira equação no processo anterior (em que se descobriu o primeiro par ordenado), resta apenas substituir por -1. Optaremos, novamente, pela primeira equação:

$-1=-y\to y=1$

Conclui-se que (-1; 1) também é uma solução do sistema.

Exercícios

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