Métodos numéricos/Interpolação polinomial

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Introdução[editar | editar código-fonte]

A Interpolação consiste em determinar uma função (polinómio) que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).

Teorema: Dados n+1 nós x0,...,xn e os respectivos valores f0,...,fn ; existe um e só um polinómio interpolador de grau <= n para esses valores.

Existência e unicidade[editar | editar código-fonte]

Teorema de Weirstrass[editar | editar código-fonte]

Polinómios de Bernstein[editar | editar código-fonte]

Polinómio de Vandermond[editar | editar código-fonte]

Polinómio interpolador de Lagrange[editar | editar código-fonte]

Polinómio interpolador de Newton[editar | editar código-fonte]

Trata-se de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinómio interpolador, baseada numa construção sucessiva a partir dos polinómios de graus inferiores. Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença dividida.

As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos suficientemente próximos.

A diferença dividida de 1ª ordem é definida de uma forma geral por: f [ xi, xj] = ( fi - fj ) / ( xi - xj ) e uma diferença dividida de ordem k, pode ser obtida a partir das anteriores : f [ xi , ... , xi+k] = ( f [ xi+1, ... , xi+k ] - f [ xi, ... , xi+k-1 ] ) / ( xi+k - xi )

Fórmula de Newton

pn(x) = pn-1(x) + f [ x0 , ... , xn ] (x - x0) ... ( x - xn-1)

Splines cúbicos[editar | editar código-fonte]

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