Lógica/Lógicas Não-clássicas/Lógica Modal

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Introdução[editar | editar código-fonte]

Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

Modalidade
Necessidade Necessário Possível
Temporal Sempre no futuro Em algum lugar no futuro
Doxástico Acredito que É consistente com minhas crenças
Provabilidade É demonstrável que É consistente que
Deôntica É obrigatório que É permitido que

Linguagem das lógicas modais:[editar | editar código-fonte]

  • Alfabeto: Símbolos lógicos, e símbolos proposicionais ().
  • Linguagem: é menor conjunto que:
    • então
    • então com
    • então

Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima[editar | editar código-fonte]

Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:

Axiomas[editar | editar código-fonte]

  • A0) Todas as tautologias clássicas
  • K)

Regras de Inferência[editar | editar código-fonte]

  • Modus Ponens:
  • Necessitação:

Obs.: Para podermos derivar temos que ter provado , não sempre verdade que

Outros Axiomas Importantes[editar | editar código-fonte]

Como já mencionamos existem várias lógicas modais diferentes. Em geral os axiomas e as regras de derivação acima são comuns a todas elas (todas aslógicas modais normais). Citaremos alguns outros axiomas que definem outras lógicas modais:

  • T)
  • 4)
  • 5)
  • B)
  • D)


Semântica de Kripke[editar | editar código-fonte]

Estrutura de Kripke[editar | editar código-fonte]

Uma estrutura de Kripke é um par (W,R) onde:

  • é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis
  • é uma relação binária. Relação de acessibilidade.

Modelo de Kripke[editar | editar código-fonte]

é um modelo de Kripke sse:

onde (W,R) é uma estrutura de Kripke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.