Lógica/Lógicas Não-clássicas/Lógica Modal
Introdução
[editar | editar código-fonte]Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):
Modalidade | ||
Necessidade | Necessário | Possível |
Temporal | Sempre no futuro | Em algum lugar no futuro |
Doxástico | Acredito que | É consistente com minhas crenças |
Provabilidade | É demonstrável que | É consistente que |
Deôntica | É obrigatório que | É permitido que |
Linguagem das lógicas modais:
[editar | editar código-fonte]- Alfabeto: Símbolos lógicos, e símbolos proposicionais ().
- Linguagem: é menor conjunto que:
- então
- então com
- então
Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima
[editar | editar código-fonte]Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:
Axiomas
[editar | editar código-fonte]- A0) Todas as tautologias clássicas
- K)
Regras de Inferência
[editar | editar código-fonte]- Modus Ponens:
- Necessitação:
Obs.: Para podermos derivar temos que ter provado , não sempre verdade que
Outros Axiomas Importantes
[editar | editar código-fonte]Como já mencionamos existem várias lógicas modais diferentes. Em geral os axiomas e as regras de derivação acima são comuns a todas elas (todas aslógicas modais normais). Citaremos alguns outros axiomas que definem outras lógicas modais:
- T)
- 4)
- 5)
- B)
- D)
Semântica de Kripke
[editar | editar código-fonte]Estrutura de Kripke
[editar | editar código-fonte]Uma estrutura de Kripke é um par (W,R) onde:
- é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis
- é uma relação binária. Relação de acessibilidade.
Modelo de Kripke
[editar | editar código-fonte]é um modelo de Kripke sse:
onde (W,R) é uma estrutura de Kripke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.