Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Constantes, Variáveis e Quantificadores

Constantes individuais e de predicados

Constantes são coisas que tem sempre o mesmo valor dentro de um sistema. Por exemplo, o valor de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \pi \,\!} é sempre o mesmo, seja na fórmula do comprimento da circunferência (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{C}=2\pi r \,\!} ), seja na fórmula da área do círculo (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{A}=\pi r^2 \,\!} ), qualquer que seja o valor de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r\,\!} . No CQC teremos dois tipos de constantes: constantes individuais e constantes de predicado.

As constantes individuais, evidentemente, são indivíduos: Aristóteles, Gödel, João, Maria, o gato do vizinho, o irmão do Pedro etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano minúsculas: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle d\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle e\,\!} ... . Evitando usar as letras Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle z\,\!} , que são canonicamente usadas como variáveis, como será falado adiante. Também é lícito usar números juntamente com as letras. Ex: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m_1\,\!} para designar “Maria Silveira” e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m_2\,\!} para designar “Maria Oliveira”.

As constantes de predicados são atributos que podem ser predicados às constantes individuais, ex: “...é filósofo”, “...é matemático”, “...está correndo”, “...é bela”, “...matou aula hoje”, “...escreve livros” etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano maiúsculas: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): B\,\! , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle E\,\!} etc.

Uma constante isolada não consiste numa fórmula. Afinal, “Aristóteles”, “Gödel”, “...é matemático”, “...é filósofo” e coisas do gênero não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas.

Contudo, é claro que sentenças formadas por estas constantes – “Aristóteles é matemático”, “Gödel é matemático”, “Aristóteles é filósofo” e “Gödel é filósofo” – são valoráveis como verdadeiro ou falso. Ou seja, são proposições. Para representá-las, basta colocar as constantes individuais à direita das constantes de predicado (podendo estar sub-escritas ou não). Assim, se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle g\,\!} significa “Gödel”, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a\,\!} significa “Aristóteles”; Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle M\,\!} , “...é matemático” e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): F\,\! , “é filósofo”; então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Mg\,\!} significa “Gödel é matemático”; Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Ma\,\!} , “Aristóteles é matemático”; Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Fg\,\!} significa “Gödel é filósofo” e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Fa\,\!} , “Aristóteles é filósofo”. Constantes individuais atribuídas a uma constante de predicado consistem numa fórmula atômica do CQC. E podemos usar todos operadores do CPC com elas. Por exemplo, usando as mesmas constantes acima, podemos construir as fórmulas:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \neg Ma}

“Aristóteles não é matemático”.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Fa\land Mg }

“Aristóteles é filósofo e Gödel é matemático”.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Fa\lor Ma }

“Aristóteles é filósofo ou matemático”.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Fg\to Mg }

“Se Gödel é filósofo, então Gödel é matemático”.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Mg\leftrightarrow Ma }

“Gödel é matemático se e somente se Aristóteles é matemático”.

Voltando a tratar de fórmulas atômicas, estas podem ter mais de uma constante individual, quando se atribui a um indivíduo uma propriedade em relação a outro indivíduo. Por exemplo, digamos que vamos formalizar a sentença “João beijou Maria”. Teremos as constantes individuais j (para João) e m (para Maria), e a constante de predicado B para “...beijou...”. A fórmula fica então: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Bjm\,\!} .

Poderíamos formalizar isto de outra forma, considerando a constante de predicado B como “...foi beijado(a) por...”. A fórmula fica então: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Bmj\,\!} .

Em algumas circunstâncias, é possível sermos econômicos e poupar as fórmulas de constantes individuais. Por exemplo, digamos um sistema no qual só a Maria é beijada e tudo que Maria faz é ser beijada. Então podemos considerar a constante B como “...beijou Maria”. A sentença “João e Pedro(p) beijaram Maria” fica assim: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Bj\land Bp } .

Por fim, é lícito usar letras sentenciais para expressar orações sem sujeito, por exemplo: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): C\!\, para “Está chovendo”. Assim podemos formalizar uma proposição como “Se está chovendo, então Maria não saiu de casa” assim: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C\to \neg Sm} . Sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle S\,\!} a constante de predicado “...saiu de casa”.

Variáveis individuais e Quantificadores

Até agora o que vimos não distingue muito o CQC do CPC. Todos os esquemas de fórmulas tautológicas no CPC tem instâncias de fórmulas universalmente válidas no CQC, por exemplo: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Pa\to Pa} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \neg \left (Rb\land\neg Rb\right )} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Fd\lor \neg Fd } etc. Também, os mesmos argumentos que são válidos no CPC também são válidos no CQC, por exemplo: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Pa\vDash Pa} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left \{Ab\to Cd, Ab\right \}\vdash \mathrm{Cd}} etc.

Contudo, ainda não temos o suficiente para formalizar sentenças como “Alguém comeu a última fatia de bolo”. Os recursos usados para tal são o diferencial do CQC em relação ao CPC.

Analisemos a sentença citada acima. “Alguém” significa algum indivíduo indeterminado do sistema em questão. Digamos que o sistema seja uma família de três indivíduos: Brian (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b\,\!} ), Lisa (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l\,\!} ) e Brian Júnior (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle j\,\!} ). Neste caso, sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C\,\!} a constante de predicado “... comeu a última fatia de bolo”, a sentença poderia ser formalizada assim: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Cb\lor Cl\lor Cj } .

Contudo, a quantidade de constantes individuais pode ser tão grande que isto se torna impraticável, por exemplo: “Alguns brasileiros cursam o Ensino Superior”. Neste caso, há milhões de constantes individuais. Poderia até ser infinita, como “alguns números naturais são pares”. E ainda há sistemas nos quais não há informação sobre o número de constantes individuais. Portanto, serão usadas variáveis para representar estes indivíduos indeterminados.

Mas só a adição de variáveis não é suficiente. Vejamos o sistema da família de três indivíduos. Digamos que neste sistema tenhamos a seguinte sentença: “Todos estão assistindo TV”. Sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A\,\!} a constante de predicado “...está assistindo TV”, neste caso poderíamos fazer assim: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Ab\land Al\land Aj } . Mais uma vez, esta solução é impraticável caso haja um número muito grande ou infinito de constantes individuais ou não haja informação sobre este número. Portanto, serão usadas variáveis nestes casos também. Assim, se faz necessário algo para diferenciar “Alguns As são Bs” de “Todo A é B”. Isto é feito com os quantificadores. Existem dois quantificadores no CQC: universal (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall } ) e existencial (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \exists } ). Funcionam assim:

Sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} uma variável individual,

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Px\right )} significa “Para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P\,\!} é predicado de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} ”.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \exists x\left (Px\right )} significa “Existe algum Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , tal que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P\,\!} é predicado de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} ”.

Os quantificadores não são funções de verdade. Não é possível chegar ao valor de verdade de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (\alpha\right )} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \exists x\left (\alpha\right )} a partir do valor de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} .

Tudo isto amplia a definição de fórmula:

Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é uma variável e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} é uma fórmula onde Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} ocorre, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (\alpha\right )} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \exists x\left (\alpha\right )} são fórmulas gerais.

Expressão de Sentenças

Agora vejamos como expressar sentenças com quantificadores no sistema CQC.

“Toda espécie de mamífero é produtora de leite”.

Não podemos usar o sujeito da sentença como constante individual. Afinal, não se trata de um indivíduo, mas de um conjunto de indivíduos. Precisaremos usar uma variável (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} ) e um quantificador, no caso, o universal. Vamos usar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle M\,\!} para “... é espécie de mamífero” e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle L\,\!} para “... é produtor de leite”. A fórmula fica:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Mx\to Lx\right ) }

Ou seja: Para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é espécie de mamífero, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é produtor de leite.

Formalizemos agora a sentença “Alguns animais marítimos são espécies de mamíferos”. Usando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A\,\!} para “...é animal marítimo”, a fórmula fica:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \exists x\left (Ax\land Mx\right )}

Ou seja: Existe algum Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , tal que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é animal marítimo e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é mamífero.

Vejamos como formalizar uma sentença onde aparece a palavra “nenhum”, tal como “Nenhum mamífero respira debaixo d’água”. Sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle R\,\!} a constante de predicado “...respira debaixo d’água”, a fórmula fica:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Mx\to \neg Rx\right ) }

Ou seja: Para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é mamífero, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} não respira debaixo d’água.

A sentença também pode ser formalizada assim:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \neg \exists x\left (Mx\land Rx\right )}

Ou seja: Não existe algum Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , tal que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é mamífero e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} respira debaixo d’água.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Mx\to \neg Rx\right ) } é equivalente a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \neg \exists x\left (Mx\land Rx\right )} .

Vejamos como formalizar uma sentença com variável e constante individual, como, “Se todos garotos da rua beijaram Maria, então o namorado de Maria ficará furioso”. As constantes individuais são: “Maria” (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m\,\!} ) e “namorado de Maria” (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n\,\!} ). As constantes de predicado são: “...é garoto da rua” (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle G\,\!} ), “...beijou...” (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): B\,\! ) e “...ficará furioso” (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): F\,\! ). A fórmula fica assim:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Gx\to Bxm\right )\to Fn }

Ou seja: Para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é garoto da rua implica que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} beijou Maria, então o namorado de Maria ficará furioso.

Repare que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Gx\to Bxm\right )} é subfórmula de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Gx\to Bxm\right )\to Fn } . Ou seja, uma subfórmula pode ser geral (conter um quantificador) e nada impede de uma fórmula conter várias subfórmulas gerais. Por exemplo, acima foi dito que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Mx\to \neg Rx\right ) } é equivalente a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \neg \exists x\left (Mx\land Rx\right )} . Portanto, são fórmulas válidas:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Mx\to \neg Rx\right )\leftrightarrow \neg \exists x\left (Mx\land Rx\right )} .

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\left (Mx\to \neg Rx\right )\to \neg \exists x\left (Mx\land Rx\right )} .

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \neg \exists x\left (Mx\land Rx\right )\to \forall x\left (Mx\to \neg Rx\right )} .

Veremos mais adiante como verificar se uma fórmula é válida.

E é claro que não apenas fórmulas válidas podem ter subfórmulas gerais.

Uma fórmula geral também pode ter mais de um quantificador. Ex:

“Todos que são ingênuos são enganadas por alguns que não tem escrúpulos”.

Usando a notação: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): I\,\! : “... é ingênuo(a)”, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle E\,\!} : “... é enganado(a) por...” e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D\,\!} : “... tem escrúpulos”; temos a fórmula:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\exists y\left (\left (Ix\land \neg Dy\right )\to Exy\right ) }

Ou seja: Para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , existe algum Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!} , tal que se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é ingênuo e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!} não tem escrúpulos; então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é enganado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!} .

Vejamos um exemplo que tenha dois quantificadores universais:

“Se uma pessoa é empregada da outra, então esta é patrão dessa”.

Usando a notação: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle E\,\!} : “... é empregada de...” e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P\,\!} : “... é patrão de de...”, temos a fórmula:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x\forall y\left (Exy\leftrightarrow Pyx\right )}

Ou seja: Para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} e para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} é empregada de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!} se e somente se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!} é patrão de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} .

Repare que não foi inserido na fórmula a constante de predicado “...é pessoa”, pois esta fórmula (deve) estar inserida num sistema onde todas constantes individuais são pessoas. Quando mais pra frente lidarmos com formalização da aritmética, também não será preciso a constante de predicado “... é número”.