Introdução aos Conceitos de Filosofia/Lição IV
Raciocínios dedutivos, indutivos e abdutivos
[editar | editar código-fonte]Indução Matemática
[editar | editar código-fonte]Quando o grande matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ainda era um jovem estudante do primário, seu professor passou uma árdua tarefa para a classe, somar todos os números Naturais de 1 a 100, ou seja, 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100.
Contudo, Gauss retornou rapidamente com a resposta, 5050. Seu raciocínio foi o seguinte:
- 1+100=101
- 2+99=101
- 3+98=101
- ...
Ou seja, a somatória de todos os números Naturais de 1 a 100 é o mesmo que 50 adições cujo resultado é 101. Portanto:
Não é necessário ser um gênio como Gauss para passar a aplicar este princípio a outras somatórias de números Naturais consecutivos começando por 1. Por exemplo:
Podemos generalizar isto assim:
Ou seja, toda somatória de números Naturais consecutivos de 1 a n resulta em n+1 vezes a metade de n.
Mas como provar isto com todo o rigor necessário para a Matemática?
Podemos fazê-lo por meio da Indução Infinita.
Indução Infinita consiste em um método de prova no qual, dado um conjunto infinito - neste caso, - dada um propriedade , se for verificada para o primeiro elemento de do conjunto, e se for verificado que se vale para o k-ésimo elemento, então vale para o k-ésimo-primeiro, está provado que vale para todos os elementos do conjunto em questão.
Em termos mais simples, se verificada a propriedade no primeiro elemento do conjunto, e se da hipótese que um elemento qualquer do conjunto verifica for derivado que o sucessor deste também verifica , está provado que todos os elementos verificam .
Exemplo:
- Tese:
Para
- Hipótese:
O que prova a tese.
Problema da indução
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