Questão 1
|
A alternativa correta é a a. Posto que a distância entre o planeta e o satélite é sempre a mesma, a órbita do satélite é perfeitamente circular. Então, temos:
![{\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {(10^{8}\pi )^{3}}{10^{24}\pi G}}}\Rightarrow 2\pi {\sqrt {\frac {10^{2}4\pi ^{3}}{10^{24}\pi G}}}\Rightarrow 2\pi {\sqrt {\frac {\pi ^{2}}{G}}}\Rightarrow 3\pi {\sqrt {G^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665b4fb474c5f40ec0b5ce5fbb5bfe1311ed69d8)
|
Questão 2
|
A alternativa correta é a a. Temos:
![{\displaystyle v={\sqrt {\frac {10^{24}\pi G}{10^{8}\pi }}}\Rightarrow {\sqrt {10^{16}G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce627acce013846538f1c893c37ee9172707db01)
|
Questão 3
|
A alternativa correta é a a. Como trata-se de um anel homogêneo, seus centros de massas são exatamente em seu meio. Assim, deve-se considerar metade de sua extensão:
![{\displaystyle F_{g}={\frac {6,67\times 10^{11}\times 5,7\times 10^{26}\times 2,8\times 10^{19}}{(9,2\times 10^{7}+1,25\times 10^{7})^{2}}}={\frac {1,064532\times 10^{36}}{1,045\times 10^{15}}}\cong 1,018\times 10^{21}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ee2be2b79b47d05c5cc880eaaf0bf825def9ec)
|
Questão 4
|
A alternativa correta é a d. Pela aceleração gravitacional:
![{\displaystyle g={\frac {GM}{(0,5\times 10^{15}{\sqrt {G}})^{2}}}\to {\frac {GM}{0,25\times 10^{30}G}}\to {\frac {M}{0,25\times 10^{30}}}\to {\frac {10^{31}}{0,25\times 10^{30}}}\to {\frac {10}{0,25}}\Rightarrow 40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210907863f062428f68d95e11bad27c385740d7d)
|
Questão 5
|
A alternativa correta é a b
- Pela força de gravitação, temos:
![{\displaystyle F_{g}={\frac {6,67\times 10^{-11}\times 100\times 200}{0,5^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025d334cdf96d899c9fc6fb4846ac6423aa2c9b5)
![{\displaystyle F_{g}={\frac {1,334\times 10^{-6}}{0,25}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae86ff089ac085fa7b38dacda45d3cfb937fc17d)
![{\displaystyle F_{g}=5,336\times 10^{-6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc9d5cce6e0ecfd12e9bcac8a88965ea0dd7ed6)
- - Assim, a força e gravitação é equivalente a 5,336 x 10-6 N.
|
Questão 6
|
A alternativa correta é a c.
- Para existir movimento, a força de gravitação deve ser maior que a de atrito, logo:
![{\displaystyle F_{g}>F_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3aae32d4f48a07e8885b095955f4ef520657395)
![{\displaystyle {\frac {6,67\times 10^{-11}\times (100+\Delta m)\times 200}{0,5^{2}}}>0,5\times 200}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bc589b6360ba565a7e45fb08142ec9a48a3991)
![{\displaystyle 5,336\times 10^{-6}+(5,336\times 10^{-8}\Delta m)>100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474662b78b00297261f8cc95c26da9d4426dd9e5)
![{\displaystyle \Delta m>{\frac {100-5,336\times 10^{-6}}{5,336\times 10^{-8}}}\cong 1\;874\;062\;868}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47bcd84497107ace5a08f7db6c6b167d35bb6e2)
- -Assim, a massa de A deve, ao menos, ter mais 1 874 062 868 kg.
|
Questão 7
|
A alternativa correta é a d. Veja, abaixo, a solução da questão:
- Como d (distância) = r (raio),
, e então, as únicas alternativas que podem estar corretas são b e d. Para então, resolvê-la, calcula-se o raio dos demais planetas, utilizando a fórmula da velocidade planetária. Mas antes, é necessário descobrir a massa da estrela (M):
![{\displaystyle v_{\alpha }={\sqrt {\frac {GM}{r_{\alpha }}}}\to v_{\alpha }^{2}={\frac {GM}{r_{\alpha }}}\to M={\frac {v_{\alpha }^{2}r_{\alpha }}{G}}={\frac {({\sqrt {10^{9}}})^{2}\times 10^{11}}{6,67\times 10^{-11}}}={\frac {10^{31}}{6,67}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f23bd9a5134228149bbf1cbbe81a41e2df9c5cb)
- Como se descobriu a massa da estrela, agora é possível efetuar as demais equações:
![{\displaystyle v_{\gamma }={\sqrt {\frac {GM}{r_{\gamma }}}}\to {\sqrt {2\times 10^{9}}}={\sqrt {\frac {6,67\times 10^{-11}\times {\frac {10^{31}}{6,67}}}{r_{\gamma }}}}\to 2\times 10^{9}={\frac {10^{-11}\times 10^{31}}{r_{\gamma }}}\to r_{\gamma }=2\times 10^{11}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd435db4855d725bfd1bcc97077911ab88119618)
![{\displaystyle v_{\epsilon }={\sqrt {\frac {GM}{r_{\epsilon }}}}\to {\sqrt {1,25\times 10^{10}}}={\sqrt {\frac {6,67\times 10^{-11}\times {\frac {10^{31}}{6,67}}}{r_{\epsilon }}}}\to 1,25\times 10^{10}={\frac {10^{-11}\times 10^{31}}{r_{\epsilon }}}\to r_{\epsilon }=1,25\times 10^{10}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38fa27e8508073b803a68e200e47ba9ff268f41)
- Deste modo, conclui-se que
.
|
Questão 8
|
A alternativa correta é a c. Veja, abaixo, a solução da questão:
- [ 1 ] -
![{\displaystyle {\frac {m\times G\times 10^{5}m}{2r}}={\frac {xm\times G\times 10^{6}m}{4r}}\to x={\frac {1}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e984ef949a53308c5d9c0841b88e9ae176db54e3)
- -Assim, a massa de II é equivalente a 0,2m.
- [ 2 ] -
![{\displaystyle E_{c}={\frac {xmv^{2}}{2}}={\frac {xm\left({\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}\right)^{2}}{2}}={\frac {xm\times 10^{6}mG}{40r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e226e382c2eb3661435fc953d0843e1520f2104)
- -Deste modo, foi descoberto o valor de v e de Ec.
- Já que EcIV = 2xEcIII = 2x[ 2 ]:
- [ 3 ] -
![{\displaystyle 2E_{c}={\frac {2xmv^{2}}{2}}=xm\left({\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}\right)^{2}={\frac {xm\times 10^{6}mG}{20r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c860e1f0c278073346eb084c17056376e16a4b8)
- -Descobriu-se a energia cinética em IV.
- A partir dos dados obtidos, analisemos, primeiramente, a questão a:
- [ a ] -
![{\displaystyle {\frac {6,67\times 10^{-11}\times 10^{5}\times 10^{25}\times 10^{25}}{(6,67\times 10^{11})^{2}}}={\frac {10^{22}}{6,67}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24136b30e08d0c31fc8214ffb0847496c2627e9c)
- -Logo, a alternativa a é falsa.
- Na alternativa b, temos, a partir de [ 2 ]:
- [ b ] -
![{\displaystyle 2E_{c}={\frac {2}{1}}\times {\frac {xm\times 10^{6}mG}{40r}}={\frac {xm\times 10^{6}mG}{{\frac {1}{2}}\times 40r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c4795e203fb734fce48d7d590e534682187aa7)
- - Portanto, se Ec duplicar, r será dividido pela metade. Assim, a alternativa b é falsa.
- Na alternativa c, consideraremos [ 2 ]:
- [ c ]
- ( I ) -
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {10^{5}mG}{r}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dca058b702744d0a445ca05fa19bf47eeb6567e)
- ( II ) -
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {10^{6}mG}{2r}}}={\sqrt {\frac {5^{6}mG}{r}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a920ec775255967292031fc088e769d3649187)
- ( III ) -
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}={\sqrt {\frac {5^{5}mG}{r}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ba1d549232b87f3036e7d5fff739f19c994dad)
- - Então, a alternativa c é verdadeira.
- Em d, consideraremos III:
- [ d ] -
![{\displaystyle v={\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20\times 40^{-1}}}}={\sqrt {2\times 10^{6}mG}}\Rightarrow 1000{\sqrt {2mG}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09f8d5ad32f7e26f14ebd96fa17589a4e64ded5)
- -Assim, a alternativa d é falsa.
- Na alternativa e, temos as energias cinéticas, em II = Ec² e em III = 2Ec, portanto, utilizaremos [ 1 ] e [ 3 ]:
- [ e ] -
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\frac {1}{5}}mG\times 10^{6}m}{4r}}}={\frac {\frac {xm\times 10^{6}mG}{20r}}{2}}\to xm={\frac {40r{\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}}{10^{6}m^{2}G}}={\frac {2\times 10^{4}rm{\sqrt {\frac {G}{5r}}}}{10^{6}mG}}=2\times 10^{-2}r{\sqrt {(5rG)^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fcb2a0cf0bc21727fcb96bf8904165ef49c5c5)
- -Logo, a alternativa e é falsa.
|
|