Física Computacional/Equações Diferenciais Ordinárias

3 Equações Diferenciais Ordinárias

Em Física e em outros ramos correlatos da Ciência, é comum a preocupação com a evolução temporal das propriedades estudadas, uma das maneiras de fazer isso é estudar a relação entre a taxa de variação temporal desta propriedade e funções da mesma. A teoria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) possibilita classificar as equações quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e esta classificação é importante por guardar relação com possíveis técnicas analíticas de solução, bem como guarda relação com métodos computacionais. A intenção deste texto é discutir e introduzir esses elementos de classificação no momento em que eles forem necessários e relevantes ao longo dos problemas e exemplos, pois o leitor interessado em aprofundar-se na teoria de (EDOs) pode fazer isso através da literatura especializada sobre o assunto. Nossa ênfase neste texto será nos métodos computacionais para a solução de problemas da Física.

3.1 Crescimento Populacional Exponencial

Um exemplo simples para ilustrar este contexto é o do crescimento exponencial, em condições ideais a população de uma bactéria $P\left(t\right)$ cresce a uma taxa de variação que depende diretamente do valor de $P\left(t\right)$, essas condições ideais guardam relação com espaço livre no meio de crescimento, abundância de suprimento alimentar e também clima e temperatura, tudo isso possibilita o crescimento da população tão mais rápido quanto maior a população num dado instante de tempo, ou seja, trata-se de uma taxa de variação da população no tempo diretamente proporcional a essa população nesse mesmo instante de tempo, matematicamente podemos expressar,

${\frac {dP\left(t\right)}{dt}}=P\left(t\right).$

(3.1)

A equação (3.1) é de fácil solução, usando-se a técnica de separação de variáveis, podemos isolar termos da população e termos do tempo obtendo relações diferenciais de única variável que podem ser integradas com objetivo de conhecer a dependência funcional que a população possui do tempo, conforme será feito a seguir,

$\int {\frac {dP}{P}}=\int dt\Rightarrow \ln \left|P\right|=t\Rightarrow P\left(t\right)=ce^{t}.$

(3.2)

O resultado obtido na equação (3.2) possui uma constante $c$ e isto está de acordo com a teoria de equações diferenciais, pois quando olhamos para a equação (3.1), notamos que a mais alta derivada é de primeira ordem, isso classifica a equação diferencial como equação de primeira ordem e neste caso uma constante de integração precisa ser obtida. Se houvessem derivadas de segunda ordem, duas constantes de integração precisariam ser obtidas. O resultado em (3.2) está expresso com a constante de integração $c$ mas se conhecido qual o valor inicial da população, a exemplo da relação $P\left(t=0\right)=P_{0}$, isto pode possibilitar conhecer a constante de integração em termos dos valores iniciais, para que isso seja possível precisamos examinar o resultado em (3.2) com valor inicial do tempo,

$P\left(0\right)=P_{0}\Rightarrow ce^{0}=P_{0}\Rightarrow c=P_{0}.$

(3.3)

O valor obtido para a constante de integração completa o modelo analítico e ao ser substituído em (3.2) expressa a solução final do crescimento populacional exponencial,

$P\left(t\right)=P_{0}e^{t}.$

(Eq.3.4)