Engenharia industrial/Qualidade/O factorial 2^k

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O factorial [1][editar | editar código-fonte]

O desenho factorial completo é usado em experiências que envolvem vários factores onde é necessário o estudo conjunto de efeitos dos vários factores numa resposta. Contudo, vários casos especiais do desenho factorial são importantes porque são amplamente usados no trabalho de investigação e porque são a base de outros desenhos factoriais tamém de considerável adoção prática. O mais importande destes casos especiais é o caso de factores, cada um com apenas dos níveis. Estes níveis podem ser quantitativos, como dois valores de temperatura, pressão ou tempo; podem ser qualitativos, como por exemplo duas máquinas ou dois operadores; ou a presença ou asência de um factor. Um destes facoriais completos requer observaçãoes e é chamado desenho factorial .

Este capítulo foca-se neste importante classe de desenhos de experiências. Até ao fim deste capítulo vamos assumir que (1) os factores são fixos, (2) o desenho é completamente aleatório e (3) a usual assunção de normalidade é satisfeita.

O factorial é particularmente útil nas fazes iníciais do trabalho experimental, quando existem muitos factores a ser investigados. Consequêntemente estes factoriais são amplamente usados em experiências preliminares. Como só há dois níveis em cada factor, assume-se que a resposta é apróximadamente linear na amplitude dos níveis dos factores escolhidos.

O factorial [editar | editar código-fonte]

O primeiro desenho da classe de factoriais é o que apenas tem dois factores, por exemplo A e B, cada um com apenas dois níveis. Este desenho factorial é chamado desenho factorial . Os níveis dos factores podem ser arbitráriamente chamados de "Alto" e "Baixo". Como exemplo, considere a investigação do efeito da concentração de um reagente e da quantidade do catalisador num processo quimico. O objectivo da experiência é determinar se ajustamentos nos níveis dos factores aumenta o rendimento da reação. Começa-se por chamar ao reagente o factor A e define-se os níveis a estudar de 15 e 25 por cento. O catalisador é o factor B, com o nível alto fixado a duas libras de catalisador e o nível baixo a uma libra. A experiência é replicada 3 vezes, pelo que há 12 observações. A ordem pela qual as observações são retiradas é completamente aleatória. Os dados obtidos estão na tabela abaixo:

Tabela 1 - Resultados das experiências
Factor Combinação

de tratamento

Réplica
A B I II III Total
- - A baixo, B baixo 28 25 27 80
+ - A alto, B baixo 36 32 32 100
- + A baixo, B alto 18 19 23 60
+ + A alto, B alto 31 30 29 90

As quatro combinações de tratamento deste desenho, estão representadas gráficamente na figura abaixo. Por convenção denotam-se os efeitos dos factores com uma letra latina maiúscula. Então "A" refere-se ao efeito do factor A e "B" refere-se ao efeito do factor B e "AB" refere-se à interacção entre factores. No desenho os níveis alto e baixo dos factores A e B são representados por "-" e "+" respectivemente nos eixos A e B. Então o sinal - no eixo A representa o nível baixo de concentração enquanto o sinal + no deixo A representa o nível alto de concentração. Pela mesma lógica o sinal - no eixo B representa o nível baixo de catalisador e o sinal + representa o nível alto de catalisador.

Figura 1 - Representação geometrica do factorial

As quatro combinações de tratamento, que também podem ser representadas por letras latinas minúsculas, e o nível baixo de um tratamento também pode ser denotado com a ausência de uma letra. Por convenção (1) é usado para assinalar que todos os factores estão no nível baixo. Esta notação é usada em todos os factoriais . Num desenho factorial de dois níveis define-se o efeito médio de um factor como a variação na resposta produzida pela variação no nível desse factor sobre os níveis do outro factor. Também, os símbolos (1), a, b, e ab representam o total das n réplicas de todas as combinações do tratamento. Então o efeito de A com o nível baixo de B é e o efeito de A com o nível alto de B é . A média destas duas quantidades devolve o efeito de A:

O efeito de B é obtido a partir do edito de A nível baixo e o efeito A a nível alto :

Define-se também o efeito da interacção AB como a média das diferenças entre o efeito de A com B a nível alto e o efeito de A com B a nível baixo:

Alternativamente pode também definir-se a interação AB como a diferença média do efeito de B com A a nível alto e o efeito de B com A a nível baixo. Isto conduz-nos à mesma equação.

As fórmulas dos efeitos A, B e AB podem ser deduzidas por outro método. O efeito de A pode ser obtido como a diferença das médias da resposta dos dois tratamentos do lado direito do quadrado da figura 1 e dos dois tratamentos do lado esquerdo da figura 1 . Ficamos então com:

Esta é exectamente a mesma expressão a qjue tinhamos chegado quando definimos o efeito de A. O efeito de B é obtido como as diferenças da médias nos tratamentos no topo e fundo do quadrado da figura 1.

Esta é exectamente a mesma expressão a qjue tinhamos chegado quando definimos o efeito de B. Finalmente a interação AB é a média da diagonal da direita para a esquerda da figura 1 [ab e (1)] menos a média da diagonal da esquerda para a direita da figura 1 (a e b).

Esta é a expressão do efeito da interação definida acima.

Usando dos valores da figura 1 podemos estimar a média dos efeitos:

A partir destes valores pode verificar-se que o efeito de A (concentração do reagente) é positivo, o que sugere que um ajumento na concentração de 15% para 25% aumenta o rendimento da reação. O efekito de B (catalisador) é negativo o que seugere que um aumento na quantidade de catalisador diminui o rendimento da reação. A interação aparenta ser pequena quando comparada com os dois efeitos principais.

Em muitas experiências envolvento desenhos factoriais interessa ao investigador quantificar a magnitude e a direcção dos efeitos dos factores para determinar que variáveis são mais importantes. A análise de variância pode ser usada para confirmar esta interpretação. Considere a soma dos quadrados de A, B, e AB e note que são usados os contrastes para estimar os efeitos. Por exemplo :

Pode chamar-se ao contraste o efeito total de um factor. A soma dos quadrados de qualquer contraste pode ser obtida a partir das seguintes expressões:

Usando os dados da figura 1 podemos calcular a soma dos quadrados:

A soma dos quadrados total é obtida com a seguinte expressão:

A soma dos quadrados do erro é obtida com a seguinte expressão:

Aplicando aos dados da figura 1 temos:

E para a soma dos quadrados do erro temos:

Estamos então em condições de construir a tabela ANOVA

Tabela 2 - ANOVA
Fonte de

Variação

Soma de

Quadrados

Graus de

liberdade

Quadrado

médio

Valor de

prova

A 208,33 1 208,33 53,15 0,0001
B 75,00 1 75,00 19,13 0,0024
AB 8,33 1 8,33 2,13 0,1826
Erro 31,34 8 3,92

Note que os coeficientes do contraste para estimar os efeitos da interação são simplesmente o produto dos coeficientes dos dois efeitos principais correspondentes. Os coeficientes de contraste são sempre +1 ou -1 e uma tabela de sinais como a tabela 3 pode sempre ser usada para determinar o sinal de cada tratamento.

Tabela 3 - Tabela de sinais para o factorial
Combinação do

tratamento

Efeito do factorial
I A B AB
(1) + - - +
a + + - -
b + - + -
ab + + + +

As colunas da tabela 3 são os efeitos principais A, B e a interacção AB. I representa a média total de toda a experiência e a coluna que lhe está associada apenas tem sinais +. as linhas representam as combinações de tratamento. Para en contrar o contraste e estimar qualquer efeito, simplesmente multiplica-se na coluna aproporiada da tabela e soma-se. Por exemplo, para estimar o efeito A o contraste é -(1) + a - b + ab, que é usado na equação do efeito de A

O modelo de regressão[editar | editar código-fonte]

No desenho factorial é fácil expressar o resultado da experiência em termos de um modelo de regressão. Para a experiência do processo quimico da tabela 1 o modelo de regressão é:

onde é a variável codificada que representa a concentração de reagente, é a variável codificada que representa a quantidade de catalisador, e os são os coeficientes da regressão. As variáveis e tomam sempre o valor -1 ou +1. O modelo de regressão para este caso é então:

Neste caso a intercessão da regressão é 27,5 que é a média global das 12 observações e os coeficiêntes da regressão e são metade do efeito estimado para o factor correspondente. A razão para isso é que os coeficiêntes e variam de duas unidades (de -1 a +1).

Resíduos e adequação ao modelo[editar | editar código-fonte]

O modelo de regressão pode ser usado para fazer previsões para os valores obtidos nos quatro pontos do desenho. Os resíduos são as diferenças entre os valores observados e os valores de previsão para y. Seguindo o nosso exemplo, quando a concentração de reagente é baixa e a quantidade de catalisador é também baixa o valor de previsão é:

Como há três observações para esta combinação de tratamento os resíduos são:

Os restantes resíduos são calculados de forma semelhantes

Para um nível alto de concentração de reagente e um nível baixo de catalisador temos:

E os respectivos resíduos são:

Para um nível baixo de concentração de reagente e un nível alto de catalisador temos:

E os respectivos resíduos são:

Finalmente para um nível alto de ambos os factores temos:

E os respectivos resíduos são:

Estamos então em condições de construir o grá fico de probabilidades da distribuição normal.

  1. Design and Analysis os Experiments - Montgomery, D.C.