O factorial $2^{k}$ ^[1]

O desenho factorial completo é usado em experiências que envolvem vários factores onde é necessário o estudo conjunto de efeitos dos vários factores numa resposta. Contudo, vários casos especiais do desenho factorial são importantes porque são amplamente usados no trabalho de investigação e porque são a base de outros desenhos factoriais tamém de considerável adoção prática. O mais importande destes casos especiais é o caso de $k$ factores, cada um com apenas dos níveis. Estes níveis podem ser quantitativos, como dois valores de temperatura, pressão ou tempo; podem ser qualitativos, como por exemplo duas máquinas ou dois operadores; ou a presença ou asência de um factor. Um destes facoriais completos requer ${\textstyle 2\times 2\times \cdots \times 2=2^{k}}$ observaçãoes e é chamado desenho factorial ${\textstyle 2^{k}}$ .

Este capítulo foca-se neste importante classe de desenhos de experiências. Até ao fim deste capítulo vamos assumir que (1) os factores são fixos, (2) o desenho é completamente aleatório e (3) a usual assunção de normalidade é satisfeita.

O factorial $2^{k}$ é particularmente útil nas fazes iníciais do trabalho experimental, quando existem muitos factores a ser investigados. Consequêntemente estes factoriais são amplamente usados em experiências preliminares. Como só há dois níveis em cada factor, assume-se que a resposta é apróximadamente linear na amplitude dos níveis dos factores escolhidos.

O factorial $2^{2}$

O primeiro desenho da classe de factoriais $2^{k}$ é o que apenas tem dois factores, por exemplo A e B, cada um com apenas dois níveis. Este desenho factorial é chamado desenho factorial $2^{2}$ . Os níveis dos factores podem ser arbitráriamente chamados de "Alto" e "Baixo". Como exemplo, considere a investigação do efeito da concentração de um reagente e da quantidade do catalisador num processo quimico. O objectivo da experiência é determinar se ajustamentos nos níveis dos factores aumenta o rendimento da reação. Começa-se por chamar ao reagente o factor A e define-se os níveis a estudar de 15 e 25 por cento. O catalisador é o factor B, com o nível alto fixado a duas libras de catalisador e o nível baixo a uma libra. A experiência é replicada 3 vezes, pelo que há 12 observações. A ordem pela qual as observações são retiradas é completamente aleatória. Os dados obtidos estão na tabela abaixo:

Tabela 1 - Resultados das experiências
Factor		Combinação de tratamento	Réplica
A	B	Combinação de tratamento	I	II	III	Total
-	-	A baixo, B baixo	28	25	27	80
+	-	A alto, B baixo	36	32	32	100
-	+	A baixo, B alto	18	19	23	60
+	+	A alto, B alto	31	30	29	90

As quatro combinações de tratamento deste desenho, estão representadas gráficamente na figura abaixo. Por convenção denotam-se os efeitos dos factores com uma letra latina maiúscula. Então "A" refere-se ao efeito do factor A e "B" refere-se ao efeito do factor B e "AB" refere-se à interacção entre factores. No desenho $2^{2}$ os níveis alto e baixo dos factores A e B são representados por "-" e "+" respectivemente nos eixos A e B. Então o sinal - no eixo A representa o nível baixo de concentração enquanto o sinal + no deixo A representa o nível alto de concentração. Pela mesma lógica o sinal - no eixo B representa o nível baixo de catalisador e o sinal + representa o nível alto de catalisador.

Figura 1 - Representação geometrica do factorial $2^{2}$

As quatro combinações de tratamento, que também podem ser representadas por letras latinas minúsculas, e o nível baixo de um tratamento também pode ser denotado com a ausência de uma letra. Por convenção (1) é usado para assinalar que todos os factores estão no nível baixo. Esta notação é usada em todos os factoriais $2^{k}$ . Num desenho factorial de dois níveis define-se o efeito médio de um factor como a variação na resposta produzida pela variação no nível desse factor sobre os níveis do outro factor. Também, os símbolos (1), a, b, e ab representam o total das n réplicas de todas as combinações do tratamento. Então o efeito de A com o nível baixo de B é $[a-(a)]/n$ e o efeito de A com o nível alto de B é $[ab-b]/n$ . A média destas duas quantidades devolve o efeito de A:

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2n}}\{[ab-b]+[a-(1)]\}\\&={\frac {1}{2n}}[ab+a-b-(1)]\\\end{aligned}}$

O efeito de B é obtido a partir do edito de A nível baixo $[b-(1)]/n$ e o efeito A a nível alto $[ab-a]/n$ :

${\begin{aligned}B&={\frac {1}{2n}}\{[ab-a]+[b-(1)]\}\\&={\frac {1}{2n}}[ab+b-a-(1)]\\\end{aligned}}$

Define-se também o efeito da interacção AB como a média das diferenças entre o efeito de A com B a nível alto e o efeito de A com B a nível baixo:

${\begin{aligned}AB&={\frac {1}{2n}}\{[ab-b]-[a-(1)]\}\\&=[ab+(1)-a-b]\\\end{aligned}}$

Alternativamente pode também definir-se a interação AB como a diferença média do efeito de B com A a nível alto e o efeito de B com A a nível baixo. Isto conduz-nos à mesma equação.

As fórmulas dos efeitos A, B e AB podem ser deduzidas por outro método. O efeito de A pode ser obtido como a diferença das médias da resposta dos dois tratamentos do lado direito do quadrado da figura 1 ${\bar {y}}_{A^{+}}$ e dos dois tratamentos do lado esquerdo da figura 1 ${\bar {y}}_{A^{-}}$ . Ficamos então com:

${\begin{aligned}A&={\bar {y}}_{A^{+}}-{\bar {y}}_{A^{-}}\\&={\frac {ab+a}{2n}}-{\frac {b+(1)}{2n}}\\&={\frac {1}{2n}}[ab+a-b-(1)]\end{aligned}}$

Esta é exectamente a mesma expressão a qjue tinhamos chegado quando definimos o efeito de A. O efeito de B é obtido como as diferenças da médias nos tratamentos no topo ${\bar {y}}_{B^{+}}$ e fundo ${\bar {y}}_{B^{-}}$ do quadrado da figura 1.

${\begin{aligned}B&={\bar {y}}_{B^{+}}-{\bar {y}}_{B^{-}}\\&={\frac {ab+b}{2n}}-{\frac {a+(1)}{2n}}\\&={\frac {1}{2n}}[ab+b-a-(1)]\end{aligned}}$

Esta é exectamente a mesma expressão a qjue tinhamos chegado quando definimos o efeito de B. Finalmente a interação AB é a média da diagonal da direita para a esquerda da figura 1 [ab e (1)] menos a média da diagonal da esquerda para a direita da figura 1 (a e b).

${\begin{aligned}AB&={\bar {y}}_{AB^{+}}-{\bar {y}}_{AB^{-}}\\&={\frac {ab+(1)}{2n}}-{\frac {a+b}{2n}}\\&={\frac {1}{2n}}[ab+(1)-a-b]\end{aligned}}$

Esta é a expressão do efeito da interação definida acima.

Usando dos valores da figura 1 podemos estimar a média dos efeitos:

$A={\frac {1}{2\times 3}}(90+100-60-80)=8,33$

$A={\frac {1}{2\times 3}}(90+60-100-80)=-5,00$

$A={\frac {1}{2\times 3}}(90+80-100-60)=1,67$

A partir destes valores pode verificar-se que o efeito de A (concentração do reagente) é positivo, o que sugere que um ajumento na concentração de 15% para 25% aumenta o rendimento da reação. O efekito de B (catalisador) é negativo o que seugere que um aumento na quantidade de catalisador diminui o rendimento da reação. A interação aparenta ser pequena quando comparada com os dois efeitos principais.

Em muitas experiências envolvento desenhos factoriais $2^{k}$ interessa ao investigador quantificar a magnitude e a direcção dos efeitos dos factores para determinar que variáveis são mais importantes. A análise de variância pode ser usada para confirmar esta interpretação. Considere a soma dos quadrados de A, B, e AB e note que são usados os contrastes para estimar os efeitos. Por exemplo :

$Contraste_{A}=ab+a-b-(1)$

Pode chamar-se ao contraste o efeito total de um factor. A soma dos quadrados de qualquer contraste pode ser obtida a partir das seguintes expressões:

$SS_{A}={\frac {[ab+a-b-(1)]^{2}}{4n}}$

$SS_{B}={\frac {[ab+b-a-(1)]^{2}}{4n}}$

$SS_{AB}={\frac {[ab+(1)-a-b]^{2}}{4n}}$

Usando os dados da figura 1 podemos calcular a soma dos quadrados:

$SS_{A}={\frac {50^{2}}{4\times 3}}=208,33$

$SS_{B}={\frac {(-30)^{2}}{4\times 3}}=75,00$

$SS_{AB}={\frac {10^{2}}{4\times 3}}=8,33$

A soma dos quadrados total é obtida com a seguinte expressão:

$SS_{T}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{n}y_{ijk}^{2}-{\frac {{\Biggl (}\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{n}y_{ijk}{\Biggr )}^{2}}{4n}}$

A soma dos quadrados do erro é obtida com a seguinte expressão:

$SS_{Erro}=SS_{T}-SS_{A}-SS_{B}-SS_{AB}$

Aplicando aos dados da figura 1 temos:

${\begin{aligned}SS_{T}&=28^{2}+25^{2}+27^{2}+36^{2}+32^{2}+32^{2}+18^{2}+19^{2}+23^{2}+31^{2}+30^{2}+29^{2}-\\&-{\frac {(28+25+27+36+32+32+18+19+23+31+30+29)^{2}}{4\times 3}}\\&=9398-9075=323,00\end{aligned}}$

E para a soma dos quadrados do erro temos:

$SS_{E}=323,00-208,33-75,00-8,33=31,34$

Estamos então em condições de construir a tabela ANOVA

Tabela 2 - ANOVA
Fonte de Variação	Soma de Quadrados	Graus de liberdade	Quadrado médio	$F_{0}$	Valor de prova
A	208,33	1	208,33	53,15	0,0001
B	75,00	1	75,00	19,13	0,0024
AB	8,33	1	8,33	2,13	0,1826
Erro	31,34	8	3,92

Note que os coeficientes do contraste para estimar os efeitos da interação são simplesmente o produto dos coeficientes dos dois efeitos principais correspondentes. Os coeficientes de contraste são sempre +1 ou -1 e uma tabela de sinais como a tabela 3 pode sempre ser usada para determinar o sinal de cada tratamento.

Tabela 3 - Tabela de sinais para o factorial $2^{2}$
Combinação do tratamento	Efeito do factorial
Combinação do tratamento	I	A	B	AB
(1)	+	-	-	+
a	+	+	-	-
b	+	-	+	-
ab	+	+	+	+

As colunas da tabela 3 são os efeitos principais A, B e a interacção AB. I representa a média total de toda a experiência e a coluna que lhe está associada apenas tem sinais +. as linhas representam as combinações de tratamento. Para en contrar o contraste e estimar qualquer efeito, simplesmente multiplica-se na coluna aproporiada da tabela e soma-se. Por exemplo, para estimar o efeito A o contraste é -(1) + a - b + ab, que é usado na equação do efeito de A

O modelo de regressão

No desenho factorial $2^{k}$ é fácil expressar o resultado da experiência em termos de um modelo de regressão. Para a experiência do processo quimico da tabela 1 o modelo de regressão é:

$y=\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\epsilon$

onde $x_{1}$ é a variável codificada que representa a concentração de reagente, $x_{2}$ é a variável codificada que representa a quantidade de catalisador, e os $\beta$ são os coeficientes da regressão. As variáveis $x_{1}$ e $x_{2}$ tomam sempre o valor -1 ou +1. O modelo de regressão para este caso é então:

${\hat {y}}=27,5+{\Biggl (}{\frac {8,33}{2}}{\Biggr )}x_{1}+{\Biggl (}{\frac {-5,00}{2}}{\Biggr )}x_{2}$

Neste caso a intercessão da regressão é 27,5 que é a média global das 12 observações e os coeficiêntes da regressão ${\hat {\beta }}_{1}$ e ${\hat {\beta }}_{2}$ são metade do efeito estimado para o factor correspondente. A razão para isso é que os coeficiêntes $x_{1}$ e $x_{2}$ variam de duas unidades (de -1 a +1).

Resíduos e adequação ao modelo

O modelo de regressão pode ser usado para fazer previsões para os valores obtidos nos quatro pontos do desenho. Os resíduos são as diferenças entre os valores observados e os valores de previsão para y. Seguindo o nosso exemplo, quando a concentração de reagente é baixa e a quantidade de catalisador é também baixa o valor de previsão é:

${\hat {y}}=27,5+{\Biggl (}{\frac {8,33}{2}}{\Biggr )}(-1)+{\Biggl (}{\frac {-5,00}{2}}{\Biggr )}(-1)=25,835$