Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas

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Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é e cuja imagem é ou .

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {an}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a1 é 1, a317 é 317, e an é n.

A seqüência também é indicada por: a0, a1, a2, ..., an, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

Notações:

  1 
  2 
  3 
  4 

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

Representação[editar | editar código-fonte]

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

Fórmula do termo geral[editar | editar código-fonte]

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

Limite de uma seqüência[editar | editar código-fonte]

Definição: Dada uma seqüência , dizemos que o número é o limite de para se, > 0, tal que < .

Definição: Se a seqüência tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Propriedades de seqüências[editar | editar código-fonte]

Sejam duas seqüências convergentes, isto é, e . Então:

Subseqüências[editar | editar código-fonte]

Definição: Dada uma seqüência , as restrições de a subconjuntos de serão denominadas subseqüências de .

Teorema: Se , então toda subseqüência de converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência , se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência , temos que:

  • l é chamada de cota inferior se
  • L é chamada de cota superior se
  • é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

  • Se é uma seqüência crescente (), então é uma cota inferior
  • Se é uma seqüência decrescente (), então é uma cota superior
  • Se é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ( > ), então é limitada,

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Seqüências monótonas e limitadas[editar | editar código-fonte]

Definição: Seja uma seqüência monótona:

  • crescente, se
  • decrescentes, se