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Cálculo (Volume 2)/Integrais múltiplas

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Existem várias situções em que não é possível ou não é fácil utilizar uma integral simples. Assim, surge o aparecimento das chamadas integrais múltiplas que "varrem" o domínio de integração com a ajuda de duas ou três variáveis.

Os integrais múltiplos podem ser:

Integral dupla


Integral triplo

Integrais Duplas

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Integrais duplas são integrais definidas de funções de duas variáveis sobre uma região limitada no plano . Denotamos por:

a integral dupla de sobre a região de integração .

Integrais duplas sobre retângulos

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Aqui, vamos considerar o caso de uma região de integração retangular, i.e., .

Somas de Riemann

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Esboço de uma região retangular particionada em subretângulos.

Como para integrais simples, integrais duplas são definidas como o limite de somas de Riemann. Para tanto, particionamos a região retangular em subretângulos e denotamos a área do -ésimo subretângulo por , onde e são os comprimentos dos lados deste subretângulo. Uma soma de Riemann é dada por:

onde é um ponto qualquer pertencente ao -ésimo subretângulo.

A integral dupla sobre é definida por:

com o limite sendo tomado sobre todas as partições retangulares possíveis, fazendo a área dos subretângulos tender a zero. Quando este limite existe, dizemos que é integrável. É condição suficiente para a existência deste limite ser contínua.