Cálculo (Volume 2)/Integrais múltiplas
Existem várias situções em que não é possível ou não é fácil utilizar uma integral simples. Assim, surge o aparecimento das chamadas integrais múltiplas que "varrem" o domínio de integração com a ajuda de duas ou três variáveis.
Os integrais múltiplos podem ser:
Integral dupla
Integral triplo
Integrais Duplas
[editar | editar código-fonte]Integrais duplas são integrais definidas de funções de duas variáveis sobre uma região limitada no plano . Denotamos por:
a integral dupla de sobre a região de integração .
Integrais duplas sobre retângulos
[editar | editar código-fonte]Aqui, vamos considerar o caso de uma região de integração retangular, i.e., .
Somas de Riemann
[editar | editar código-fonte]Como para integrais simples, integrais duplas são definidas como o limite de somas de Riemann. Para tanto, particionamos a região retangular em subretângulos e denotamos a área do -ésimo subretângulo por , onde e são os comprimentos dos lados deste subretângulo. Uma soma de Riemann é dada por:
onde é um ponto qualquer pertencente ao -ésimo subretângulo.
A integral dupla sobre é definida por:
com o limite sendo tomado sobre todas as partições retangulares possíveis, fazendo a área dos subretângulos tender a zero. Quando este limite existe, dizemos que é integrável. É condição suficiente para a existência deste limite ser contínua.