Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

As cônicas

Conjuntos de pontos definidos em um gráfico podem ser analisados de acordo com suas características simétricas, como por exemplo, aquelas que definem uma equivalência de valores, ou uma correspondência dos mesmos em relação a pontos específicos no gráfico. Certos pontos que podem ser considerados como referência de valores simétricos em relação aos pontos de uma curva são, geralmente, referenciados como os focos. De forma geral os focos de um sistema podem ser conseguidos quando o conjunto de pontos analisado assume contornos de estruturas cônicas cortadas por planos inclinados.

O efeito do secionamento de cones por planos geram estas estruturas que são chamadas de cônicas, ou seções cônicas, como muitas vezes são referenciadas em alguns textos de geometria.

Muitas vezes devemos adicionar um eixo de referência para que as características de simetria sejam observadas. Esta reta chamamos de diretriz.

Parábola

A parábola é a cônica mais simples, ela representa o conjunto de pontos em torno de um único foco, o qual estabelece uma relação de simetria com uma diretriz. A parábola é resultante de uma equação puramente quadrática. Resta-nos saber quais as relações desta equação com a definição de foco e diretriz.

Observemos o gráfico a seguir:

Relacionando os pontos da parábola a seu foco e sua diretriz. Observemos o ponto

F\,\!

e a reta

I\,\!

, diz-se que os mesmos são o foco e a diretriz da parábola quando se estabelece a relação

{\overline {PF}}={\overline {PQ}}

.

Logo abaixo do foco, o ponto $A\,\!$ é conhecido como vértice, que se estabelece como o ponto mínimo absoluto no gráfico da parábola.

A distância entre o foco e o vértice é a mesma do vértice para a diretriz, os pontos na parábola mantém a mesma distância do foco e da diretriz.

A simetria nos sugere que podemos encontrar uma relação simples para uma parábola cujo vértice está no ponto $(0,0)\,\!$ e que possui foco no ponto $(0,f_{y})\,\!$ . Fazendo a relação de simetria temos:

$P=(x,y)\,\!$ ;

$F=(0,f_{y})\,\!$ ;

$Q=(x,-f_{y})\,\!$ .

O que nos permite fazer:

${\overline {PF}}={\overline {PQ}}$

${\sqrt {x^{2}+(y-f_{y})^{2}}}={\sqrt {0+(y+f_{y})^{2}}}$

$x^{2}+(y-f_{y})^{2}=(y+f_{y})^{2}\,\!$

$x^{2}+y^{2}-2yf_{y}+f_{y}^{2}=y^{2}+2yf_{y}+f_{y}^{2}\,\!$

$x^{2}-2yf_{y}=2yf_{y}\,\!$

$x^{2}=4yf_{y}\,\!$

 $y={\frac {x^{2}}{4f_{y}}}\,\!$

E eis nossa equação quadrática para esta parábola primária estabelecida nos eixos.

Esta relação é meramente funcional para o foco no eixo das ordenadas, se quisermos fazer uma equivalência de variáveis e estabelece-la para as abscissas teremos:

 $x={\frac {y^{2}}{4f_{x}}}\,\!$

Generalizando para o plano cartesiano $xy\,\!$ , temos a equação acima como um conjunto particular da equação mais geral, onde podemos observar $f_{x}\,\!$ e $f_{y}\,\!$ como a distância entre foco e vértice, considerando-o como parâmetro independente da posição, neste caso podemos escrever:

 $y={\frac {x^{2}}{4p}}\,\!$

ou,

 $x={\frac {y^{2}}{4p}}\,\!$

Para cada um dos casos acima, identificando $p\,\!$ como distância foco-vértice. Esta denominação nos faz pensar em uma equação independente de posição. Tomando como base o vértice, podemos dizer que, se o mesmo tem coordenada $(x_{v},y_{v})\,\!$ temos:

 $y={\frac {(x-x_{v})^{2}}{4p}}+y_{v}\,\!$

ou,

 $x={\frac {(y-y_{v})^{2}}{4p}}+x_{v}\,\!$

Exemplo 1 - Parâmetros da parábola

Encontrar os parâmetros da parábola:

$y=x^{2}-2x+4\,\!$ .

Façamos a adaptação da equação para o formato que nos permita analisar os valores:

$y=x^{2}-2x+1-1+4\,\!$ .

$y=(x-1)^{2}+3\,\!$ .

$y-3={\frac {(x-1)^{2}}{4\left({\frac {1}{4}}\right)}}\,\!$

Como podemos verificar o vértice da parábola está no ponto $(1,3)\,\!$ . Uma vez que a equação representa uma função onde a variável das abscissas tem grau 2, o foco e o vértice da parábola estão no mesmo valor de $x\,\!$ e como o parâmetro $p={\frac {1}{4}}$ , temos o valor do foco:

$f_{0}=\left(1,{\frac {13}{4}}\right)$

E a diretriz é:

$y={\frac {11}{4}}$

Exemplo 2 - Equação da parábola

Encontrar a equação da parábola cujo vértice está na coodenada $(2,-3)\,\!$ e está distante da sua diretriz $3\,\!$ unidades, sabendo que a concavidade da mesma está voltada para cima.

Como a concavidade da parábola está voltada para cima, temos o foco e o vértice para o mesmo valor de $x\,\!$ que tem grau 2:

$y+3={\frac {(x-2)^{2}}{12}}$

$y={\frac {x^{2}-4x+4}{12}}-3$

$y={\frac {x^{2}-4x-32}{12}}$

A equação é:

 $y={\frac {x^{2}}{12}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {8}{3}}$

Elipse

A elipse é uma cônica largamente utilizada, principalmente em áreas de tecnologia e Física. As características fundamentais do seu formato estão relacionadas diretamente com a natureza das teorias de espaços curvos, que são estudadas atualmente pelos físicos teóricos. Nas áreas de tecnologia, as características de hiperbolicidade no comportamento de certas grandezas físicas, destacando as eletromagnéticas, são aplicáveis em vários equipamentos onde observam-se conceitos elétromagnéticos e ópticos, os mesmos possuem comportamentos elípticos devido a estas características.

Define-se a elipse como o conjunto de pontos em torno de dois focos, onde a soma das distâncias entre um ponto e cada foco é uma constante. Vejamos o gráfico abaixo:

Neste gráfico a distância focal é

2e\,\!

e

{\overline {F_{1}P_{1}}}+{\overline {F_{2}P_{1}}}\,\!

é constante para todos os pontos do gráfico da elipse. Os pontos

S1\ {\mbox{e}}\ S2\,\!

são os vértices da elipse, enquanto que

S3\ {\mbox{e}}\ S4\,\!

são os pontos de menor raio.

A equação da elipse pode ser encontrada, como no caso anterior da parábola, explorando a propriedade de simetria dos diversos pontos, os quais mantém a soma das duas distâncias para os focos sempre igual para todos os pontos da curva. Podemos fazer:

${\overline {F_{1}P}}+{\overline {F_{2}P}}=K\,\!$

Sendo $P\,\!$ , um ponto qualquer e $K\,\!$ a constante. Conforme observamos no gráfico, temos dois lados simétricos onde a distância ao foco de cada lado é $e\,\!$ , a altura é $b\,\!$ e uma distância entre o foco e o ponto $b\,\!$ que é $a\,\!$ , o que nos leva a dizer que $K=2a\,\!$ , portanto:

${\overline {F_{1}P}}+{\overline {F_{2}P}}=2a\,\!$

Sendo a elipse centrada nos eixos, temos os pontos:

$F_{1}=(e,0)\,\!$

$F_{2}=(-e,0)\,\!$

$P=(x,y)\,\!$

O que nos leva a:

${\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=2a\,\!$

${\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}\,\!$

Elevando os dois termos da equação ao quadrado:

$(x+e)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}+(x-e)^{2}+y^{2}$

Fazendo a simplificação algébrica, teremos:

$ex=a^{2}-a{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}$

$a^{2}-ex=a{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}$

Elevamos os dois membros ao quadrado novamente:

$(a^{2}-ex)^{2}=a^{2}[(x-e)^{2}+y^{2}]\,\!$

Depois das simplificações algébricas teremos:

$(a^{2}-e^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-e^{2})\,\!$

Porém, observando o gráfico, podemos concluir que:

$(a^{2}-e^{2})=b^{2}\,\!$

e a equação pode ser:

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\,\!$

O que nos leva a equação da elipse:

 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Podemos verificar que quando $x=0\,\!$ temos: $y=\pm b\,\!$ e quando $y=0\,\!$ temos: $x=\pm a\,\!$ , sendo estes valores o menor e o maior raio para a cônica, respectivamente.

Quando substituimos as variáveis ou as constantes, uma pela outra, temos uma elípse cujo maior raio sustenta-se no eixo das ordenadas, pois a correlação de valores é intuitivamente perceptível no gráfico. De maneira geral, se $a>b\,\!$ teremos uma elipse com o raio maior sobre as abscissas e se $b>a\,\!$ a teremos com o raio maior sobre ordenadas.

O centro da elipse serve de referência quando a mesma não está centrada na orígem do sistema de eixos. Para converter valores a forma correta para uma elipse fora da orígem do sistema de eixos, usamos a referência das coordenadas absolutas do ponto onde o centro da elipse se encontra, para encontrar a equação correta para a mesma:

 ${\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1$

Exemplo 1 - Parâmetros da elipse

Encontrar o eixo maior, o eixo menor, os vértices e os focos da elipse representada pela equação: $16x^{2}-32x+9y^{2}-36y-92=0\,\!$ .

Primeiro, reduzimos a equação a forma padrão para analisar os valores das constantes, para isso formamos quadrados perfeitos com as partes de cada variável:

$16(x^{2}-2x+1-1)+9(y^{2}-4y+4-4)-92=0\,\!$

$16(x-1)^{2}-16+9(y-2)^{2}-36-92=0\,\!$

$16(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=144\,\!$

${\frac {(x-1)^{2}}{9}}+{\frac {(y-2)^{2}}{16}}=1$

Portanto,

O centro da elipse está na coordenada $(1,2)\,\!$ ;
O raio maior mede $4\,\!$ unidades e é paralelo às ordenadas;
O raio menor mede $3\,\!$ unidades e é paralelo às abscissas.
Os vértices são: $(1,6)\ ;\ (1,-2)$

Para calcular as coordenadas dos focos fazemos:

$e=\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

$e=\pm {\sqrt {4^{2}-3^{2}}}$

$e=\pm {\sqrt {7}}$

Os focos são: $\left(1,2\pm {\sqrt {7}}\right)\,\!$ .

Exemplo 2 - Equação da elipse I

Encontrar a equação da elipse cujos focos tem como coordenadas: $(3,1)\ ;\ (3,-5)\,\!$ e raio menor igual a 2 unidades.

Podemos verificar que os focos estão sobre um mesmo valor de abscissa, enquanto que as ordenadas são $1\,\!$ e $-5\,\!$ , o que nos dá um valor de $e=3\,\!$ , logo temos:

$a={\sqrt {e^{2}-b^{2}}}$

$a={\sqrt {3^{2}-2^{2}}}$

$a={\sqrt {5}}$

O centro da elipse está no ponto médio entre os dois focos, ou seja: $(3,-2)\,\!$

A equação da elipse é, portanto:

 ${\frac {(x-3)^{2}}{4}}+{\frac {(y+2)^{2}}{5}}=1$

Exemplo 3 - Equação da elipse II

Encontrar a equação da elipse, cujos focos são expressos por $f=(\pm 4,0)\,\!$ e que passa pelo ponto $p=\left(3,{\frac {12}{5}}\right)$ .

Em primeiro lugar:

$a^{2}-b^{2}=16\,\!$

e

${\frac {9}{a^{2}}}+{\frac {144}{25b^{2}}}=1$

$225b^{2}+144a^{2}=25a^{2}b^{2}\,\!$

Que nos dá o sistema:

$\left\{{\begin{matrix}a^{2}-b^{2}&&=&&16\\144a^{2}+225b^{2}&&=&&25a^{2}b^{2}\end{matrix}}\right.\,\!$

Podemos resolvê-lo por substituição, da segunda equação temos:

$a^{2}={\frac {225b^{2}}{25b^{2}-144}}$

Que substituimos na primeira equação:

${\frac {225b^{2}}{25b^{2}-144}}+b^{2}=16$

$225b^{2}-25b^{4}+144b^{2}=400b^{2}-2304\,\!$

$25b^{4}+31b^{2}-2304=0\,\!$

Considerando que $b^{2}\,\!$ deve ser positivo, a raiz possível da equação é:

$b^{2}=9\,\!$

Então, substituimo-la em:

$a^{2}={\frac {225b^{2}}{25b^{2}-144}}$

$a^{2}={\frac {225\cdot 9}{25\cdot 9-144}}$

$a^{2}=25\,\!$

Portanto, a equação da elipse é:

 ${\frac {x^{2}}{25}}+{\frac {y^{2}}{9}}=1$

Hipérbole

O uso desta cônica no estudo das teorias de geometrias não euclidianas é fundamental, a hipérbole é especialmente explorada nas novas teorias da Física devido as características das superfícies hiperbólicas presentes nos modelos do universo.

A hipérbole é definida como o conjunto de pontos em um gráfico, cuja diferença das distâncias entre qualquer destes pontos e os seus dois focos é igual a uma constante. Não acidentalmente, o modelo de relação de simetria presente na hipérbole é muito parecido com o da elipse, na verdade, podemos fazer a mesma análise da distância entre pontos e focos, que fizemos com a elipse, para encontrar a equação da hipérbole.

Duas hipérboles sobrepostas no mesmo gráfico, mostrando a alternância de direções pelo ajuste dos valores dos seus parâmetros.

Considerando a relação de simetria dos pontos em relação aos dois pontos, podemos verificar que:

$|{\overline {F_{2}P}}|-|{\overline {F_{1}P}}|=\pm K\,\!$

Note que, ao definirmos as ditâncias como referência, devemos assegurar que oa seus valores sejam absolutos e depois estabelecer o sinal correto para a constante em cada caso.

Quando estabelecemos os valores das constantes podemos fazer com que:

$e^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!$

Esta relação pode ser facilmente visualizada observando-se o gráfico abaixo:

A hipérbole

x^{2}-y^{2}=1\,\!

com parâmetros destacados, mostrando a relação entre os mesmos.

Observe que os parâmetros: $a,b,e\,\!$ são as distâncias orígem-vértice, vértice-assíntota e orígem-foco, respectivamente.

Adaptando a equação anterior, como no caso da elipse, teremos:

$|{\overline {F_{2}P}}|-|{\overline {F_{1}P}}|=\pm 2a\,\!$

${\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\,\!$

${\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}\pm 2a\,\!$

Elevamos os dois lados da equação ao quadrado e simplificamos:

$(x+e)^{2}+y^{2}=(x-e)^{2}+y^{2}\pm 4a{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}+4a^{2}\,\!$

$ex=a^{2}\pm a{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}\,\!$

$ex-a^{2}=\pm a{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}\,\!$

Elevamos novamente ao quadrado os dois lados da equação:

$e^{2}x^{2}-2exa^{2}+a^{4}=a^{2}x^{2}-2exa^{2}+e^{2}a^{2}+a^{2}y^{2}\,\!$

$e^{2}x^{2}+a^{4}=a^{2}x^{2}+e^{2}a^{2}+a^{2}y^{2}\,\!$

$(e^{2}-a^{2})x^{2}=a^{2}(e^{2}-a^{2})+y^{2}a^{2}\,\!$

Como $b^{2}=e^{2}-a^{2}\,\!$ , podemos fazer:

$b^{2}x^{2}=a^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}\,\!$

$b^{2}x^{2}-y^{2}a^{2}=a^{2}b^{2}\,\!$

O que nos revela a equação da hipérbole:

 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,\!$

De forma análoga ao caso da elipse, podemos verificar que quando $y=0\,\!$ temos $x=\pm a\,\!$ , porém para o caso em que $x=0\,\!$ o valor está indefinido, visto que a função não existe no intervalo entre os dois vértices.

Note que o sinal das partes variáveis determina a direção do gráfico, no caso acima, onde a expressão mostra a subtração da parte ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}$ pela parte ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}$ , temos uma hipérbole com focos na horizontal, no caso contrário temos uma hipérbole com focos na vertical.

Para os casos onde a hipérbole tem focos na vertical a equação é definida como:

 ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1\,\!$

O que define os coeficientes ${\frac {1}{a^{2}}}$ e $-{\frac {1}{b^{2}}}$ comuns às duas formas de hipérboles, definindo a posição das variáveis como determinante da direção onde a cônica irá ser apresentada no gráfico.

No gráfico podemos verificar duas retas diagonais que se interceptam na orígem, estas retas são as assíntotas das hipérboles, a sua inclinação é característicamente expressa por:

${\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {b}{a}}$

Podemos demonstrar isto implicitamente a partir da equação da hipérbole; vejamos:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ (eq.1)

logo:

${\frac {2xdx}{a^{2}}}-{\frac {2ydy}{b^{2}}}=0$

${\frac {xdx}{a^{2}}}={\frac {ydy}{b^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {xb^{2}}{ya^{2}}}$

Eliminemos a variável dependente a partir da equação original:

$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\to$ Retirada da equação da hipérbole (eq.1).

Substituimos na derivada logo acima, obtendo:

${\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {xb}{a{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$

Uma vez que estas assintotas, são tangentes da curva da hipérbole quando seu valor tende a infinito, devemos encontrar o limite deste valor no infinito:

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\to \infty }\pm {\frac {xb}{a{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\to \infty }\pm {\frac {b}{a{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}}}$

Ou seja:

 ${\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {b}{a}}$

O que nos permite verificar que a equação das assintotas, tomando a orígem como ponto inicial, define-se como:

 $y=\pm {\frac {b}{a}}x$

Exemplo 1 - Encontrando os parâmetros

Encontrar os parâmetros da hipérbole $9x^{2}-4y^{2}-18x+8y-31=0\,\!$ .

O processo é basicamente o mesmo no caso da elipse, façamos a adaptação da equação para que torne-se semelhante a da definição:

$9x^{2}-18x-4y^{2}+8y-31=0\,\!$

$9(x^{2}-2x+1-1)-4(y^{2}-2y+1-1)-31=0\,\!$

$9(x-1)^{2}-9-4(y-1)^{2}+4-31=0\,\!$

$9(x-1)^{2}-4(y-1)^{2}-36=0\,\!$

$9(x-1)^{2}-4(y-1)^{2}=36\,\!$

${\frac {(x-1)^{2}}{4}}-{\frac {(y-1)^{2}}{9}}=1$

Agora podemos avaliar a equação e verificar que:

O centro da hipérbole está no ponto: $c=(1,1)\,\!$
Os vértices estão nos pontos: $v_{1}=(3,1)\ ,\ v_{2}=(-1,1)\,\!$
Podemos calcular os focos, calculando a distância focal:

$e={\sqrt {9+4}}\,\!$

$e={\sqrt {13}}\,\!$

- Os focos são: $f_{1}=(1+{\sqrt {13}},1)\ ,\ f_{2}=(1-{\sqrt {13}},1)\,\!$

Calculamos as assíntotas:

O coeficiente angular é $m={\frac {3}{2}}$

Que nos fornece as assíntotas:

1. $y=1+{\frac {3x}{2}}$
2. $y=1-{\frac {3x}{2}}$

Exemplo 2 - Encontrando a equação

Encontrar uma equação para representar a hipérbole cujos focos são $(1,-7)\ ;\ (1,3)\,\!$ , que contém o ponto $\left(2,-2+{\frac {\sqrt {153}}{4}}\right)$

Mais uma vez, devemos encontrar o centro da cônica, que fica no ponto médio do eixo onde os valores variam... Como podemos observar, devemos fazer a média do eixo $y\,\!$ , o que nos dá o ponto:

$c=(1,-2)\,\!$

Como centro da cônica. Depois podemos encontrar a distância focal, subtraindo os valores de $y\,\!$ nos pontos dos focos pelos do centro:

$e=5\,\!$

Da definição, temos que:

${\frac {(y-y_{c})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-x_{c})^{2}}{b^{2}}}=1$

Logo:

${\frac {\left({\frac {\sqrt {153}}{4}}\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}=1$

${\frac {153}{16a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}=1$

$153b^{2}-16a^{2}=16a^{2}b^{2}\,\!$

Como $e^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!$ , temos o sistema:

$\left\{{\begin{matrix}153b^{2}-16a^{2}&&=&&16a^{2}b^{2}\\a^{2}+b^{2}&&=&&25\end{matrix}}\right.$

Utilizemos a substituição:

$b^{2}={\frac {16a^{2}}{153-16a^{2}}}$

Na segunda equação:

$25=a^{2}+{\frac {16a^{2}}{153-16a^{2}}}\,\!$

$3825-400a^{2}=153a^{2}-16a^{4}+16a^{2}\,\!$

$16a^{4}-569a^{2}+3825=0\,\!$

Para a qual temos as raízes: $a^{2}=9\,\!$ e $a^{2}={\frac {9{\sqrt {10}}}{32}}$

Para a raiz mais simples, temos:

$b^{2}={\frac {16(9)}{153-16(9)}}$

$b^{2}=16\,\!$

Portanto, a equação é:

 ${\frac {(y+2)^{2}}{9}}-{\frac {(x-1)^{2}}{16}}=1$