Astronomia/Kepler

Uma das importantes personagens da Astronomia foi Johannes Kepler. Como muitos astrônomos de sua época, Kepler era também um astrólogo e uma de suas crenças fundamentais era no conceito de que a Terra devia fazer parte de um todo harmônico que rege o mundo e não aceitava o modelo Ptolomaico dos epiciclos como uma explicação para o comportamento dos planetas. O estudo aprofundado que ele conduziu sobre o movimento dos planetas levou a elaboração das Leis de Kepler, um dos pilares sobre o qual Newton criou a lei da Gravitação Universal.

As hipóteses de Kepler

Modelo de Kepler para o Sistema Solar

O interesse de Kepler pelos astros foi incentivado em sua família desde sua infância. Ele escreveu sobre dois eventos da infância quando ele viu um cometa e um eclipse lunar. A varíola que ele teve durante a infância, porém, danificou sua vista e seus interesses deram a ele uma capacidade impressionante de fazer cálculos das estrelas. Kepler, um luterano, foi estudante de teologia na Universidade de Tübingen e possuía a reputação de ser um brilhante astrólogo. Foi lá que ele foi introduzido aos modelos de Ptolomeu e de Copérnico para o sistema solar.

Kepler acreditava que as leis que regiam o universo eram as mesmas que regiam a terra e, por isso, foi um defensor do modelo de Copérnico. Kepler obcecadamente buscava encaixar o movimento planetário em um sistema místico que ele publicou em seu livro Mysterium Cosmographicum.

Colaborações com Tycho Brahe

Modelo de Tycho Brahe para o Sistema Solar. A Terra ocupa o centro do universo. O Sol e as estrelas fixas giram ao redor da Terra e os outros planetas giram ao redor da Terra. Tecnicamente, este modelo é equivalente ao modelo atual do movimento planetário, se tomarmos como referencial a Terra.

Kepler foi convidado pelo astrônomo e nobre dinamarquês Tycho Brahe para trabalhar conjuntamente. Tycho era dono de um dos observatórios astronômicos mais precisos da era antes da descoberta do telescópio e ele possuía uma imensa compilação de dados a respeito da posição dos astros, frutos de uma imensa paciência e cuidado com o trabalho. Tycho Brahe, porém, tinha um modelo próprio para o sistema solar e, por conta disso, protegia seus dados. Somente após a morte de Tycho Brahe, Kepler recebeu como herança todos os dados e foi a partir destes que Kepler elaborou as 3 leis que recebem seu nome.

A Primeira Lei de Kepler

A partir dos dados de Tycho, Kepler procurou encaixar as coordenadas dos planetas no seu modelo, com os planetas navegando em órbitas circulares ao redor do Sol. Ele obteve um grau de sucesso alto, mas a precisão dos dados obtidos através de observações não fechavam completamente com as órbitas circulares. Kepler alterou o seu sistema para um sistema no qual os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol posicionado em um dos focos dessa elipse.

A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias de um ponto na curva até dois pontos fixos é constante. Sejam os dois pontos $F_{1}\,$ e $F_{2}\,$, o lugar geométrico pode ser descrito por:

$L=\left\{X\in \mathbb {R} ^{2}\mid XF_{1}+XF_{2}=cte=2a\right\}$

Uma elipse com alguns pontos notáveis

Quando $F_{1}\,$ e $F_{2}\,$ coincidem para um ponto $F\,$, o lugar geométrico se degenera para uma circunferência:

$L=\left\{X\in \mathbb {R} ^{2}\mid XF=cte\right\}$

Assim, podemos ver que a lei de Kepler não retira a possibilidade de uma órbita perfeitamente circular. Apenas expande a classe de órbitas possíveis. Vamos então estudar alguma propriedades importantes da elipse.

Os pontos $F_{1}\,$ e $F_{2}\,$ recebem o nome de focos da elipse, enquanto que o ponto médio do segmento ${\overline {F_{1}F_{2}}}$ é chamado de centro da elipse.

Os pontos $A\,$ e $B\,$ mostrados no gráfico, e que são definidos pela intersecção da reta que passa pelos focos com a elipse determinam o eixo maior da elipse. Já a reta perpendicular ao eixo maior e que passa pelo centro da elipse é chamada de eixo menor da elipse, e é determinado pelos pontos $C\,$ e $D\,$, da figura acima. As dimensões $a\,$ e $b\,$ da figura acima são chamados de semi-eixo maior e semi-eixo menor respectivamente. A distância $c\,$ entre o centro e qualquer um dos focos da elipse é chamado de distância focal, e a relação $e={\frac {c}{a}}$ entre a distância focal e o eixo maior da elipse é chamada excentricidade. Na figura acima vemos a distância focal representada por $e\cdot a$.

Um exercício interessante é calcular a equação da elipse. Seja $X=(x,y)\,$ e os focos $F_{1}=(-c,0)\,$ e $F_{2}=(c,0)\,$, de forma que o centro da elipse coincida com a origem do sistema de coordenadas e que o eixo maior da elipse coincida com o eixo horizontal do sistema de coordenadas. Seja ainda $2a\,$ a constante utilizada na definição do lugar geométrico da elipse. A escolha pode parecer uma decisão arbitrariamente mágica, mas a razão dessa escolha é tem uma justificativa. Da figura acima, vemos que $AF_{1}+F_{1}B=2a\,$. Como $AF_{1}=F_{2}B\,$, por simetria, então temos que $F_{2}B+F_{1}B=2a\,$. Como $B\in elipse$, então a escolha é apropriada. Podemos, então, escrever a seguinte equação:

${\begin{matrix}\underbrace {XF_{1}} &+&\underbrace {XF_{2}} &=&2a\\{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}&+&{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}&=&2a\end{matrix}}$

Manipulando a expressão acima é possível reduzir a expressão a:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

A forma canônica da equação de uma elipse com centro na origem e que contém os pontos $\left(a,0\right)$ e $\left(0,b\right)$, em coordenadas cartesianas é

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

É fácil verificar que as constantes $a\,$ e $b\,$ são iguais ao eixo maior e ao eixo maior respectivamente. Fazendo a identidade entre a expressão que nós encontramos e a forma canônica, chegamos na identidade $c^{2}=a^{2}-b^{2}$. Utilizando essa identidade, chegamos uma forma canônica para uma elipse a partir dos valores da distância focal e da excentricidade:

${\frac {x^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}\left(1-e^{2}\right)}}={\frac {1}{e^{2}}}$

A excentricidade é um bom indicativo da forma da elipse. À medida que $e$ se aproxima de $0$, a elipse vai se transformando em uma circunferência; quando $e$ se aproxima de $1$ a elipse vai ficando cada vez mais alongada até o ponto em que ela se degenera à reta $y=0$.

Vamos lembrar agora que o Sol não está no centro da órbita e sim em um dos focos. Então é conveniente também determinar a equação da órbita tendo o foco no centro do espaço. Não iremos provar aqui a expressão, que fica como exercício para o aluno. A prova é fácil no sistema de coordenadas polares e o resultado para uma elipse com as dimensões utilizadas até aqui são:

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+2\cos {\theta }}}$

Vamos voltar um pouco para a Astronomia! Por causa da órbita ser elíptica, existe um ponto em que um planeta está mais próxima do Sol, o periélio e outro no qual o planeta está mais distante, o afélio. Voltando à figura acima, supondo que o Sol está em $F_{1}$, o afélio e o periélio correspondem aos pontos $B$ e $A$ respectivamente. A Lua também descreve uma órbita elíptica ao redor da Terra e os pontos de maior e menor aproximação são chamados de apogeu e perigeu.

É importante lembrar que, apesar de elíptica, as órbitas da maioria dos planetas é quase-circular, com excentricidades muito próximas de 0. A Terra, por exemplo, tem excentricidade 0.016, e Mercúrio tem a maior excentricidade 0.205 entre os planetas solares. Plutão, que não é mais um planeta tem excentricidade 0.248.

A Segunda Lei de Kepler

A segunda observação de Kepler foi que os planetas não giram ao redor do sol com velocidade uniforme, porém mais rápido quando mais próximos do sol e mais devagar quando mais longe dele, precisamente deste modo, suponha que um planeta seja observado em dois momentos sucessivos quaisquer, com uma diferença de uma semana, e que se trace o raio do vetor * até o planeta para cada posição observada. O arco orbital percorrido pelo planeta durante a semana e os dois raios vetores delimitam certa área plana, a área sombreada. Caso se realizem duas observações semelhantes com uma semana de distância em uma parte orbita mais distante do sol (onde o planeta se desloca mais lentamente), a área igualmente delimitada será exatamente igual á do primeiro caso. Assim, de acordo com a segunda lei, a velocidade orbital de cada planeta é tal que o raio "varre" áreas iguais em períodos iguais.

A Terceira Lei de Kepler

Finalmente, uma terceira lei foi descoberta por Kepler muito depois; é uma lei de categoria diferente de todas as outras duas, por lidar não apenas com o planeta individual, mas relacionar um planeta ao outro. Essa lei reza que, quando se comparam o período orbital e o tamanho da órbita de dois planetas quaisquer, os períodos são proporcionais á 3/2 da potência do tamanho da órbita. Nesta afirmação, o período é o intervalo de tempo que um planeta leva para percorrer completamente em sua órbita e o tamanho e medido pelo comprimento do maior diâmetro da órbita elíptica, tecnicamente conhecido como o eixo maior. Mais simplesmente, se os planetas girassem em círculos, como quase fazem, o tempo necessário para percorrer o círculo seria proporcional á 3/2 da potência do diâmetro (ou raio).