Aritmética Maia/Números Inteiros

Numerais maias.

Sistema de Numeração Maia

O sistema de numeração adotado pela civilização pré-colombiana dos Maias é um sistema de numeração posicional de base primária 20 e de base secundária 5, ou seja, contavam de 20 em 20 auxiliados pelos agrupamentos de 5. A possível origem desta base de contagem é o número total de dedos que possuímos, somando os dedos das mãos e o dos pés.

Os numerais são representados por símbolos. Em nosso Sistema de Numeração utilizamos dez símbolos para representar qualquer número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estes símbolos, que são os algarismos indo-arábicos, foram criados e desenvolvidos pela Civilização do Vale do Indo (região onde atualmente se localiza o Paquistão) e trazidos para o Mundo ocidental, por isso o chamamos de Sistema de numeração decimal indo-arábico e o fato de ser decimal vem do fato da base de nosso Sistema de Numeração ser 10, ou seja contamos de 10 em 10.

O Sistema de Numeração Vigesimal dos Maias é composto pelo ponto, que representa a unidade, pela barra, que é o conjunto de cinco unidades, e pelo desenho de uma concha, que é a representação mais comum do zero. Por exemplo, o número doze é escrito usando dois pontos na horizontal sobre duas barras também horizontais como mostra o diagrama acima.

Observando esse mesmo diagrama percebemos que a cada vintena utilizamos no máximo quatro pontos e três barras para escrever qualquer número no Sistema de Numeração Maia. De maneira geral nossa escrita é feita no sentido horizontal, mas os Maias escreviam seus números na vertical seguindo potências de vinte em notação posicional. Vejamos por exemplo como escrever um determinado número em nosso sistema de numeração decimal com os algarismos indo-arábicos(SND), no sistema de numeração vigesimal com os algarismos indo arábicos (SNV) e no sistema de numeração vigesimal com os algarismos maias (SNVM).

NÚMERO	SND	SNV	SNVM
trinta e três	33=3·10¹+3·100	113=1·20¹+13·0
cinco mil cento e vinte e cinco	5125=5·10³+1·10²+2·10¹+5·100	12165=12·20²+16·20¹+5·200

Pelos exemplos acima vemos que a leitura dos números maias é feita de cima para baixo e cada grupo de vinte determina um nível posicional,ou seja, unidades, vintenas, duzentenas, etc, o que é equivalente as ordens das unidades, das dezenas, das centenas, etc. Com este sistema de numeração foi desenvolvido uma Aritmética Maia, ou seja, desenvolvimento de algoritmos para resolver situações problemas envolvendo as operações básicas.

Aritmética Maia

Os registros dos Maias que hoje temos acesso resumem-se a quatro livros e há alguns registros feitos em pedra. Lamentavelmente, os sacerdotes espanhóis, em sua luta pela conversão religiosa, ordenaram a queima de todos os códices maias logo após a conquista. Por serem muito delicados os livros que foram abandonados não conseguiram sobreviver ao processo natural de decomposição já que estes eram feitos de um tecido sobre o qual aplicavam uma película de cal branca para que depois pudessem ser gravados o texto ou as figuras. Os únicos quatro livros que orientaram e orientam toda pesquisa sobre o povo Maia são considerados obsoletos pois foram encontrados em vilarejos distantes dos grandes centros que já haviam sido abandonados muito antes da chegada dos espanhóis ao continente. Devido a esta destruição sistemática não é possível saber o conhecimento adquirido pelos maias em outros ramos da matemática, como a álgebra, onde as culturas da Mesopotâmia alcançaram grande desenvolvimento, chegando a resolução de problemas do segundo e terceiro grau usando um sistema de número sexagesimal (Boyer, 1999). Mas através das pesquisas realizadas é possível estabelecer os algoritmos que foram utilizados por eles para realizar somas, diferenças, multiplicações e divisões com números racionais positivos. (Magaña, 1990). Abaixo segue uma breve explanação de como os Maias realizavam suas contas de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros positivos. Por conveniência utilizaremos, quando necessário, os símbolos que usamos hoje: '+','-', '×' , '÷' e '='. Nos próximos capítulos trataremos de operações com racionais, e aplicações desses algoritmos ao nosso Sistema de Numeração Decimal.

Soma

Para realizar a soma eles escreviam os números um ao lado do outro , em colunas, respeitando os níveis posicionais, ou seja, unidade ao lado de unidade, vintenas ao lado de vintenas e assim sucessivamente. Uma outra coluna então é formada contendo todos os símbolos das colunas anteriores nos respectíveis níveis. Se for necessário alguns ajustes adicionamos mais uma coluna para o resultado final.

	1ª Coluna	2ª Coluna	3ª Coluna	4ª Coluna
MAIA		+	=	=
Decimal Indo-arábico	33	+ 48	= 81	= 81

Note que na 3ª Coluna tínhamos dois níveis e o das unidades continha 21 unidades, então 20 dessas unidades se transformam em uma vintena no próximo nível, assim temos 4 vintenas que é igual a 80, em sistema de numeração decimal, mais uma unidade resultando em 81.

Subtração

Para realizar a subtração também escrevemos os números um ao lado do outro, em colunas, respeitando os níveis posicionais, e realizamos reduções dos níveis de baixo para cima.

	1ª Coluna	2ª Coluna	3ª Coluna
MAIA		-	=
Decimal Indo-arábico	47	- 23	= 24

	1ª Coluna	2ª Coluna	3ª Coluna	4ª Coluna	5ª Coluna
MAIA		-	=	-	=
Decimal Indo-arábico	20	- 7	= 20	-7	= 13

Notamos que na 3ª Coluna foi feita uma reescrita do número 20 para que a subtração pudesse ser realizada.

Multiplicação

Para realizar a multiplicação os maias utilizavam um algoritmo um pouco diferente do que utilizamos normalmente hoje em dia, mas que pode ser adaptado para o sistema de numeração decimal.

Eles utilizavam uma tabela onde os números a serem multiplicados ficavam nas bordas superior e lateral esquerda.

Os números eram escritos de forma que cada nível posicional ficasse na borda de uma entrada da tabela.

Cada entrada da tabela é preenchida com o resultado da multiplicação feita pelos números que se encontram nas bordas da respectiva linha e coluna que a entrada se encontra.

Encontramos o resultado somando as entradas que estão no mesmo nível , ou seja, em uma mesma diagonal, e a partir destes níveis podemos escrever o resultado.

Na maioria das vezes antes de se escrever o resultado final é necessário fazer alguns ajustes, como aqueles realizados no exemplo da soma.

Antes de começarmos temos que dizer que, assim como no Sistema de Numeração Decimal :

um ponto vezes um ponto é um ponto, um ponto vezes uma barra é uma barra, ou seja, a unidade é elemento neutro da multiplicação;
uma barra vezes uma barra são cinco barras, ou seja, um ponto no primeiro nível e uma barra no segundo nível.

Para entendermos tal processo segue um caso geral feito com algarismos indo-arábicos, com $a,b,c$ e $d$ números naturais

cujo resultado é

Para um caso prático vejamos como calcular o produto de 432 por 4. Usando algarismos indo-arábicos e tomando a base 20 podemos escrever que 432 = 1·20² + 1·20¹ + 12·20⁰ e 4 = 4·20⁰. No Sistema de Numeração Maia temos

Na primeira linha ( da esquerda para a direita) temos:0·20¹·1·20² = 0; 0·20¹·1·20¹ = 0; 0·20¹·12·20⁰ = 0,
na segunda linha temos:4·20⁰ ·1·20² = 4·20²; 4·20⁰·1·20²= 4·20²; 4·20⁰·12·20⁰ = 48·20⁰.
Realizamos então as somas que tem as mesmas potências de 20, que no caso dos maias eram as diagonais de mesmo nível, e temos na primeira coluna dos resultados:
0·20³ +4·20²+4·20¹ + 48·20⁰
Como 48 = 2·20¹ +8·20⁰, temos que na segunda coluna estas duas vintenas vão para o próximo nível, ficando apenas oito no nível das unidades. Organizando novamente temos na terceira coluna o resultado final 1728 = 4·20² + 6·20¹ + 8·20⁰.

Divisão

No algoritmo apresentado para a divisão, o divisor está localizado no lado esquerdo da tabela, enquanto o dividendo toma o seu lugar na diagonal e o quociente será escrito na parte superior. Nosso objetivo é encontrar um número que vezes o divisor dará o dividendo, tentando assim escrever uma tabela de multiplicação, como feito anteriormente.
Dividiremos cada entrada pelo nível mais alto do divisor, deixando os outros níveis para confirmar o quociente encontrado ajudando a preencher as entradas em branco. E para tornar mais didático utilizaremos a legenda:

Façamos a divisão de 714 por 42.

Queremos saber qual é o inteiro que vezes dois(A1) dá um(C1). Como tal resultado não é possível, pois 1<2, temos em B1 e nossa unidade em C1 será relocalizada para um nível posicional mais baixo, no nível das vintenas. Como uma duzentena vale vinte vintenas reescreveremos a tabela assim:
Colocamos em C3 pois dois(A2) vezes zero(B1) é zero.
Agora queremos saber qual inteiro que vezes dois(A1) resulta em 35(C0 + C2). Como não existe tal inteiro, mas 35>2 podemos fazer uma nova arrumação de forma que tal divisão seja possível. No caso, como 34 é divisível por 2, tiraremos uma vintena das trinta e cinco e a relocalizaremos na entrada das unidades. Nossa tabela então ficará assim:
O número procurado então é 17. Na tabela final temos: note que 2(A2) vezes 17(B2) é 34(C4) o que confirma nosso resultado. o quociente procurado é , 17.