Álgebra linear/Produto interno

Em Álgebra linear, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.

Definição

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Em V, pode-se definir a função binária $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow K$ (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

$\langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}$

$\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle$

$\langle \lambda u,v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle$

Se $v\neq 0$, então $\langle v,v\rangle$> $0$

em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.

A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:

$\langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle$

$\langle u,\lambda v\rangle ={\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle$

Se $v=0$, então $\langle v,v\rangle =0$

Se $\langle v,v\rangle =0$, então $v=0$

Exemplos

O produto escalar sobre o espaço vetorial $\mathbb {R} ^{3}$ satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

$\langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

Se f e g são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno:

$\langle f,g\rangle =\int f(x){\overline {g(x)}}\,dx$

Vetores ortogonais

Diz-se que dois vetores $u,v\in V$ são ortogonais se $\langle u,v\rangle =0$.

Consequências (prove!):

Se $\langle u,v\rangle =0,\forall v\in V$, então $u=0$

Se $\langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V$, então $T=0$

Complemento ortogonal

Seja $v\in V,v\neq 0$

Define-se o complemento ortogonal de v, $v^{\perp }$, como:

$v^{\perp }=\{v\}^{\perp }=\{u\in V|\langle u,v\rangle =0\}.$

Consequências (prove!):

$v^{\perp }$ é um subespaço vetorial de V

Seja $W$ um subespaço vetorial de V, e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ uma base de $W$. $v\in W^{\perp }\iff v\in v_{i}^{\perp },i=1,\ldots ,n$

$(W^{\perp })^{\perp }=W$, W é subespaço de V.

Norma

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor $v\in V$ como sendo o número ${\sqrt {\langle v,v\rangle }}$, que indicamos por $|v|$.

Consequências (prove!):

$|v|=0\Longleftrightarrow v=0$

Se $v\neq 0$, então $|v|>0$

$|\lambda v|=|\lambda ||v|,\forall \lambda \in K,v\in V$

Se $\langle u,v\rangle =0$, então $|u+v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}$ (Teorema de Pitágoras)

Projeção ortogonal

Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, em que u ≠ 0

Define-se essa projeção como sendo o vetor

${\mbox{proj}}_{u}v={\frac {\langle v,u\rangle }{\langle u,u\rangle }}\cdot u$

Projeção de um vetor v sobre um subespaço vetorial W de V

Seja $W=[u_{1},u_{2}]$, em que $\{u_{1},u_{2}\}$ é uma base ortogonal de W.

${\mbox{proj}}_{W}v={\mbox{proj}}_{u_{1}}v+{\mbox{proj}}_{u_{2}}v$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Dados $u,v\in V$, então $|\langle u,v\rangle |\leq |u|\cdot |v|$

Desigualdade triangular

$|u+v|\leq |u|+|v|,\forall u,v\in V$

Base ortogonal e ortonormal

Uma base $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ de V é dita ortonormal se $\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta ij$, em que

$\delta ij=1$, se i = j

$\delta ij=0$, se i ≠ j

A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.

v1.v2=0

Propriedade: n vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt

Dada uma base $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal $\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\}$ de V.

$u_{i}=v_{i}-\sum _{k=1}^{i-1}{\frac {\langle v_{i},u_{k}\rangle }{\langle u_{k},u_{k}\rangle }}u_{k}$

Distância entre dois vetores

Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v, como sendo $d(u,v)=|u-v|$

Uma função distância tem as seguintes propriedades:

$d(u,v)\geq 0$

$\quad d(u,v)=0\Leftrightarrow u=v$

$d(u,v)=d(v,u)$

$d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v)$

Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.

Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V

Se $d(v,u)\leq d(v,u'),\forall u'\in W$, então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W.

Demonstra-se que $u=proj_{W}v$