Álgebra linear/Produto interno

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Em Álgebra linear, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Em V, pode-se definir a função binária (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

Se , então >

em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.

A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:

Se , então
Se , então

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O produto escalar sobre o espaço vetorial satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

Se f e g são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno:

Vetores ortogonais[editar | editar código-fonte]

Diz-se que dois vetores são ortogonais se .

Consequências (prove!):

Se , então
Se , então

Complemento ortogonal[editar | editar código-fonte]

Seja

Define-se o complemento ortogonal de v, , como:

Consequências (prove!):

é um subespaço vetorial de V
Seja um subespaço vetorial de V, e uma base de .
, W é subespaço de V.

Norma[editar | editar código-fonte]

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor como sendo o número , que indicamos por .

Consequências (prove!):

Se , então
Se , então (Teorema de Pitágoras)

Projeção ortogonal[editar | editar código-fonte]

Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, em que u ≠ 0[editar | editar código-fonte]

Define-se essa projeção como sendo o vetor

Projeção de um vetor v sobre um subespaço vetorial W de V[editar | editar código-fonte]

Seja , em que é uma base ortogonal de W.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz[editar | editar código-fonte]

Dados , então

Desigualdade triangular[editar | editar código-fonte]

Base ortogonal e ortonormal[editar | editar código-fonte]

Uma base de V é dita ortonormal se , em que

, se i = j
, se i ≠ j

A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.

v1.v2=0

Propriedade: n vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt[editar | editar código-fonte]

Dada uma base de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal de V.

Distância entre dois vetores[editar | editar código-fonte]

Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v, como sendo

Uma função distância tem as seguintes propriedades:

Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.

Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V[editar | editar código-fonte]

Se , então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W.

Demonstra-se que

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Produto interno