Álgebra linear/Espaços vetoriais

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Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço vetorial é formado por:

  1. Um conjunto qualquer cujos elementos serão chamados de vetores;
  2. Um corpo cujos elementos serão denominados escalares, com elementos neutros distintos 0 e 1;
  3. Uma operação conhecida como adição de vetores;
  4. Uma operação chamada de multiplicação por escalar.

Neste wikilivro, será escrito simplesmente para denotar

Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

Definição

Dizemos que é um espaço vetorial sobre quando as operações e satisfazem as seguintes propriedades:

Adição
  1. Para cada (comutatividade)
  2. Para cada (associatividade)
  3. Existe um vetor tal que para cada (neutro aditivo)
  4. Para cada existe tal que (inverso aditivo)
Multiplicação por escalar
  1. Para cada e cada (distributividade)
  2. Para cada e cada (distributividade)
  3. Para cada e cada (associatividade)
  4. Para cada (neutro multiplicativo)

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • , e, mais geralmente, , são espaços vetoriais reais (sobre o corpo ), quando munidos da soma e multiplicação por escalar usuais.
  • O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre
  • é um espaço vetorial sobre
  • Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kn.
  • Seja um número qualquer. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a é um espaço vetorial, onde consideramos a soma de dois polinômios como a soma dos coeficientes de mesmo grau e a multiplicação por escalar como a multiplicação de cada coeficiente pelo escalar em questão.
  • Seja o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio e contradomínio Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir
(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)
(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).

Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.

  • O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto KI, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para
O fato de um conjunto ser ou não um espaço vetorial depende fortemente das operações envolvidas. O próximo exemplo ilustra esta questão:
Exemplo: Verifique se , munido das operações
é um espaço vetorial.
Com efeito, observe inicialmente que a a soma em questão é a usual. Logo, satisfaz as propriedades de espaço vetorial. Iremos provar que a a multiplicação por escalar não satisfaz o seguinte propriedade de espaço vetorial:
De fato, se , então . Portanto, , munido destas operações, não é um espaço vetorial.

Subespaços vetoriais[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço vetorial sobre o corpo Um subespaço vetorial de é um subconjunto que também é um espaço vetorial sobre com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de

Equivalentemente, um subespaço vetorial de é um subconjunto não-vazio fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que

  1. Para todos tem-se
  2. Para qualquer escalar e para todo tem-se


Exemplo: Seja . Provemos que é um subespaço vetorial.

  1. O subconjunto é não-vazio, uma vez que o vetor nulo pertence a .
  2. O subconjunto é fechado em relação à soma. Considere os vetores e abaixo:
    A soma desses dois vetores resulta no vetor
    O vetor resultante da soma de e ainda se encontra presente em , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.
  3. O subconjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar. Considere novamente o vetor abaixo:
    A multiplicação de por um escalar resultará em:
    O vetor resultante dessa multiplicação ainda se encontra presente no subespaço , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.

Combinação linear[editar | editar código-fonte]

Definições[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja um espaço vetorial sobre um corpo Um vetor é dito combinação linear dos vetores se existem escalares tais que

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

Definição

Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor é dito uma combinação linear de elementos de S quando ou existem:

um número inteiro positivo n,
vetores e
escalares
tais que

Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v1 = x e λ = 1, de forma que x = λ v1
  • Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou Então
  • Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
    • Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
    • No caso geral, e Então definindo
      e
      temos que
  • Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

Dependência e Independência linear[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja um subconjunto de Dizemos que é linearmente dependente se existem vetores distintos e escalares não todos nulos, tais que

Ou seja, é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo. Quando não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que é linearmente independente.


Quando temos um número finito de vetores é comum dizer que os vetores são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto é linearmente dependente (ou independente).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
  • Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
  • Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
  • Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
  • Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
  • A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
  • A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
  • A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

Espaço gerado[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja um subconjunto de um espaço vetorial O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de é um subespaço de e é dito o subespaço gerado por Quando é um conjunto finito dizemos que é o subespaço gerado pelos vetores

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Crystal Clear app kaddressbook.png Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Elaborar e incluir uma imagem para ilustrar este conceito.
  • Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
  • Em o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
  • Em o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
  • Em o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o
  • Em o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

Definição através de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:

  • V é um subespaço vetorial de V que contém S
  • A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V

Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque ) definido por:

e seja definido por:

Teorema[editar | editar código-fonte]

Nas condições definidas acima, é o subespaço vetorial gerado por S.

Bases[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja um subconjunto de um espaço vetorial é uma base do espaço vetorial quando o subespaço de gerado por é o próprio e é um conjunto linearmente independente. Quando uma base é um conjunto finito de elementos, dizemos que tem dimensão .

Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos ui e wj? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

Coordenadas[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe então para todo vetor se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante. Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]