Álgebra linear/Espaços vetoriais

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Definição

Um espaço vetorial é formado por:

Um conjunto qualquer $V,$ cujos elementos serão chamados de vetores;
Um corpo $K,$ cujos elementos serão denominados escalares, com elementos neutros distintos 0 e 1;
Uma operação $+:V+V\to V,$ conhecida como adição de vetores;
Uma operação $*:K\times V\to V,$ chamada de multiplicação por escalar.

Neste wikilivro, será escrito simplesmente $\alpha v$ para denotar $\alpha *v.$

Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

Definição

Dizemos que $V$ é um espaço vetorial sobre $K$ quando as operações $+$ e $*$ satisfazem as seguintes propriedades:

Adição

Para cada $u,v\in V,$ $u+v\ =\ v+u$ (comutatividade)
Para cada $u,v,w\in V,$ $(u+v)+w\ =\ u+(v+w)$ (associatividade)
Existe um vetor $0,$ tal que para cada $u\in V,$ $0+u\ =\ u$ (neutro aditivo)
Para cada $u\in V,$ existe $-u\in V$ tal que $u+(-u)\ =\ 0$ (inverso aditivo)

Multiplicação por escalar

Para cada $\alpha \in K$ e cada $u,v\in V,$ $\alpha (u+v)\ =\ \alpha u+\alpha v$ (distributividade)
Para cada $\alpha ,\beta \in K$ e cada $u\in V,$ $(\alpha +\beta )u\ =\ \alpha u+\beta u$ (distributividade)
Para cada $\alpha ,\beta \in K$ e cada $u\in V,$ $(\alpha \beta )u\ =\ \alpha (\beta u)$ (associatividade)
Para cada $u\in V,$ $1u\ =\ u$ (neutro multiplicativo)

Exemplos

$\mathbb {R} ^{2}\,$ , $\mathbb {R} ^{3}\,$ e, mais geralmente, $\mathbb {R} ^{n}$ , são espaços vetoriais reais (sobre o corpo $\mathbb {R}$ ), quando munidos da soma e multiplicação por escalar usuais.
O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre $\mathbb {R} \,.$
$\mathbb {R} \,$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb {R} \,.$
Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kⁿ.
Seja $n\in \mathbb {N}$ um número qualquer. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a $n$ é um espaço vetorial, onde consideramos a soma de dois polinômios como a soma dos coeficientes de mesmo grau e a multiplicação por escalar como a multiplicação de cada coeficiente pelo escalar em questão.
Seja $\mathbb {N} \,$ o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio $\mathbb {N} ^{*}\,$ e contradomínio $\mathbb {R} \,.$ Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir

(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)

(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).

Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.

O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto K^I, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para $f,g\in K^{I}\,,$ $\lambda \in K\,:$

(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,

(\lambda f)(x)=\lambda f(x)\,

O fato de um conjunto ser ou não um espaço vetorial depende fortemente das operações envolvidas. O próximo exemplo ilustra esta questão:

Exemplo: Verifique se

(\mathbb {R} ^{2},\oplus ,.)

, munido das operações

{\begin{cases}(x_{1},y_{1})\oplus (x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})&\\k.(x_{1},y_{1})=(-kx_{1},-ky_{1})\end{cases}}

é um espaço vetorial.

Com efeito, observe inicialmente que a a soma em questão é a usual. Logo, satisfaz as propriedades de espaço vetorial. Iremos provar que a a multiplicação por escalar não satisfaz o seguinte propriedade de espaço vetorial:

1\cdot u=u

De fato, se

u=(x_{1},y_{1})

, então

1.u=1(x_{1},y_{1})=(-1x_{1},-1y_{1})=(-x_{1},-y_{1})\neq (x_{1},y_{1})

. Portanto,

\mathbb {R} ^{2}

, munido destas operações, não é um espaço vetorial.

Subespaços vetoriais

Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre o corpo $K.$ Um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto $W$ que também é um espaço vetorial sobre $K,$ com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de $V.$

Equivalentemente, um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto não-vazio $W$ fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que

Para todos $u,v\in W$ tem-se $u+v\in W;$
Para qualquer escalar $\lambda \in K$ e para todo $u\in W$ tem-se $\lambda u\in W.$

Exemplo: Seja $F=\{(x,2x,3x):x\in \mathbb {R} \}$ . Provemos que $F$ é um subespaço vetorial.

O subconjunto $F$ é não-vazio, uma vez que o vetor nulo pertence a $F$ . $F\neq \emptyset ,{\text{ pois }}{\vec {0}}=(0,0,0)=(0,2.0,3.0)$
O subconjunto $F$ é fechado em relação à soma. Considere os vetores $u$ e $v$ abaixo: $u=(x_{1},2x_{1},3x_{1})\ \ \ \ \ \ v=(x_{2},2x_{2},3x_{2})$ A soma desses dois vetores resulta no vetor $u+v=(x_{1}+x_{2},\ 2x_{1}+2x_{2},\ 3x_{1}+3x_{2})$ O vetor resultante da soma de $u$ e $v$ ainda se encontra presente em $F$ , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.
O subconjunto $F$ é fechado em relação à multiplicação por escalar. Considere novamente o vetor $u$ abaixo: $u=(x_{1},2x_{1},3x_{1})$ A multiplicação de $u$ por um escalar $\alpha \in \mathbb {R}$ resultará em: $\alpha .u=(\alpha .x_{1},\alpha .2x_{1},\alpha .3x_{1})$ O vetor resultante dessa multiplicação ainda se encontra presente no subespaço $F$ , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.

Exemplos

$V$ é subespaço de $V.$
$\{0\}$ é subespaço de $V.$
Se $V_{1}$ e $V_{2}$ são subespaços vetoriais do espaço vetorial $V,$ então a interseção $V_{1}\cap V_{2}$ é um espaço vetorial de $V.$
De modo geral, a propriedade acima vale para interseções infinitas. Ou seja, se K é um conjunto não-vazio cujos elementos são subespaços vetoriais de V, então a interseção de todos elementos de K é um subespaço vetorial de V.

Observação

Os dois primeiros subespaços são chamados de subespaços triviais de $V$ .

Provemos que $X=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x=2y\,{\text{ e }}z=3x\}$ é um subespaço de $\mathbb {R} ^{3}$ .

Observe inicialmente que $X$ podemos ser descrito como $X=\{(x,{\frac {x}{2}},3x):x\in \mathbb {R} \}$

Para provar que $X$ é um subespaço, iremos provar que

1) O vetor nulo $(0,0,0)\in X$ . Basta ver que $(0,0,0)=(0,{\frac {0}{2}},3.0)\in X$ .

2) $X$ é fechado em relação à soma, ou seja, se $u,v\in X$ então $u+v\in X$ . De fato, sejam $u=(x_{1},{\frac {x_{1}}{2}},3x_{1})$ e $v=(x_{2},{\frac {x_{2}}{2}},3x_{2})$ vetores quaisquer pertencentes ao espaço $X$ . Então $u+v=(x_{1}+x_{2},{\frac {x_{1}}{2}}+{\frac {x_{2}}{2}},3x_{1}+3x_{2})=(x_{1}+x_{2},{\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2}),3(x_{1}+x_{2}))$ , ou seja $u+v\in X$ .

3) $X$ é fechado em relação à multiplicação por escalar, ou seja, se $u\in X$ e $\alpha \in \mathbb {R}$ então $\alpha u\in X$ .

Com efeito,

 $\alpha u=(\alpha x_{1},\alpha {\frac {x_{1}}{2}},\alpha 3x_{1})=\alpha (x_{1},{\frac {x_{1}}{2}},3x_{1})$ , e isto prova o fechamento em relação à multiplicação por escalar.  $\square$

Combinação linear

Definições

Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K.$ Um vetor $u\in V$ é dito combinação linear dos vetores $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ se existem escalares $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ tais que

\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}=u

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

Definição

Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor $u\in V$ é dito uma combinação linear de elementos de S quando $u=0$ ou existem:

um número inteiro positivo n,

n\in \mathbb {N} ^{*}

vetores

v_{1},\ldots ,v_{n}\in S

e

escalares

\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K

tais que

\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}=u

Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

Propriedades

Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v₁ = x e λ = 1, de forma que x = λ v₁
Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou $x=\lambda _{1}v_{1}+\ldots \lambda _{n}v_{n}\,.$ Então $\lambda x=(\lambda \lambda _{1})v_{1}+\ldots (\lambda \lambda _{n})v_{n})\,.$
Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
- Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
- No caso geral, $x=\lambda _{1}v_{1}+\ldots +\lambda _{n}v_{n}\,$ e $y=\mu _{1}w_{1}+\ldots +\mu _{m}w_{m}\,.$ Então definindo
  $\eta _{1}=\lambda _{1},\ldots \eta _{n}=\lambda _{n},\eta _{n+1}=\mu _{1},\ldots \eta _{n+m}=\mu _{m}\,$ e
  $u_{1}=v_{1},\ldots u_{n}=v_{n},u_{n+1}=w_{1},\ldots u_{n+m}=w_{m}\,,$ temos que
  $x+y=\eta _{1}u_{1}+\ldots +\eta _{n+m}u_{n+m}\,$
Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

Dependência e Independência linear

Definição

Seja $S$ um subconjunto de $V.$ Dizemos que $S$ é linearmente dependente se existem vetores distintos $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ e escalares $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K,$ não todos nulos, tais que

\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}=0

Ou seja,

S

é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo. Quando

S

não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de

S

que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que

S

é linearmente independente.

Quando temos um número finito de vetores $v_{1},\ldots ,v_{n},$ é comum dizer que os vetores $v_{1},\ldots ,v_{n}$ são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto $S=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ é linearmente dependente (ou independente).

Propriedades

Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

Espaço gerado

Definição

Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V.$ O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de $S$ é um subespaço $W$ de $V,$ e é dito o subespaço gerado por $S.$ Quando $S$ é um conjunto finito $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\},$ dizemos que $W$ é o subespaço gerado pelos vetores $v_{1},\ldots ,v_{n}.$

Exemplos

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Elaborar e incluir uma imagem para ilustrar este conceito.

Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
Em $\mathbb {R} ^{2}\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
Em $\mathbb {R} ^{3}\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
Em $\mathbb {R} ^{2}\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o $\mathbb {R} ^{2}\,$
Em $\mathbb {R} ^{3}\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

Definição através de conjuntos

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:

V é um subespaço vetorial de V que contém S
A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V

Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque $V\in K\,$ ) definido por:

$K=\{W\subseteq V\ |\ (W{\mbox{ subespaco vetorial de }}V)\land S\subseteq W\}\,$

e seja ${\bar {S}}\,$ definido por:

${\bar {S}}=\bigcap _{X\in K}X\,$

Teorema

Nas condições definidas acima, ${\bar {S}}\,$ é o subespaço vetorial gerado por S.

Bases

Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V.$ $S$ é uma base do espaço vetorial $V$ quando o subespaço de $V$ gerado por $S$ é o próprio $V$ e $S$ é um conjunto linearmente independente. Quando uma base $S$ é um conjunto finito $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ de $n$ elementos, dizemos que $V$ tem dimensão $n$ .

Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor $v\in V\,$ seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: $v=\lambda _{1}u_{1}+\ldots +\lambda _{n}u_{n}=\mu _{1}w_{1}+\ldots +\mu _{m}w_{m}\,.$ O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos u_i e w_j? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

Coordenadas

Definição

Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe $b\in B\,,$ então para todo vetor $v\in V,$ se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante. Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par $(v,b)\in V\times B\,$ um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B

Ver também

Wikipédia