Otimização/Situação inicial

Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, ao longo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função $f$ é equivalente a achar o mínimo da função $-f.$

Mínimo global

Sejam $D \subset \mathbb{R}^n$ e $f:D \rightarrow \mathbb{R}.$ Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o $\operatorname{min} \; f(x), \forall \; x \in D .$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é mínimo global, se $f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D.$

Máximo global

Seja $D \subset \mathbb{R}^n$ e $f:D \rightarrow \mathbb{R}.$ Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o $\operatorname{max} \; f(x), \forall \; x \in D .$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é máximo global, se $f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D.$

Mínimo local

Seja $D \subset \mathbb{R}^n$ e $f:D \rightarrow \mathbb{R}.$ Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o $\operatorname{min} \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x}).$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é mínimo local, se

$f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})$ onde $B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \; \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}.$

Máximo local

Seja $D \subset \mathbb{R}^n$ e $f:D \rightarrow \mathbb{R}.$ Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o $\operatorname{max} \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x}).$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é máximo local, se $f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})$ onde $B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \; \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}.$

Exemplos

Seja $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} ,$ tais que $D_2 \subset D_1 .$

Exemplo 1

Mostrar que $\inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) .$

Afirmação: $f(y)=\inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(y) \le f(x), \forall \; x \in D_1$ e $f(z)=\inf_{x \in D_2}f(x) \Rightarrow f(z) \le f(x), \forall \; x \in D_2.$

Prova1: Tome $t \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow t \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(t), \forall \; t \in D_2 \Rightarrow f(y) \le f(z) .$

Prova2: Suponha por contradição que $\inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(z) < f(y).$ Mas $z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(z) .$ Logo $f(z) < f(y) \le f(z) .$ Contradição! A contradição foi supor que $\inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) .$

Portanto, $\inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) .$

Exemplo 2

Seja $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} ,$ tais que $\bar{x} \in D_2 \subset D_1 .$ Seja $f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 .$

Mostrar que $f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 .$

Suponha por contradição que $\exists \; z \in D_2$ tal que $f(z) < f(\bar{x}) .$ Por $z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow f(\bar{x})\le f(z).$ Logo $f(z) < f(\bar{x})\le f(z) .$ Contradição! A contradição foi supor que $\exists \; z \in D_2$ tal que $f(z) < f(\bar{x}) .$ Portanto $f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 .$