Otimização/O problema de mínimos quadrados

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Este tipo de problema é muito frequente em ciências experimentais. Para ter um exemplo em mente durante a discussão que será feita mais adiante, considere as seguintes informações:

Segundo dados disponibilizados pelo IBGE, o Produto Interno Bruto per capita na cidade de São Paulo, no período de 2002 a 2005, foi (em reais): 17734, 19669, 20943 e 24083, respectivamente.

Com base nessas informações, como poderia ser feita uma previsão do valor correspondente ao ano seguinte (2006)?

Uma escolha possível seria supor que a cada ano o PIB aumenta uma aproximadamente constante, ou seja, usar um modelo linear para obter tal estimativa (que possivelmente será bem grosseira). Intuitivamente, bastaria analisar os dados disponíveis e a partir deles deduzir qual é o aumento que ocorre a cada ano. Depois, a previsão para 2006 seria aproximadamente igual à de 2005 somada com aquele aumento anual.

Esta idéia poderia até funcionar para o caso deste exemplo, mas o que fazer se a quantidade de dados disponíveis sobre algum fenômeno (ou alguma situação) for significativamente maior?

A melhor escolha, sem dúvida, é fazer uso de um computador para obter o modelo que melhor descreve o "comportamento" dos dados experimentais.

Em geral, os problemas de mínimos quadrados consistem em identificar os valores de determinados parâmetros, de modo que se satisfaçam certas equações $h_i(x) = 0,\, i = 1, \ldots, p$ . No contexto do exemplo anterior, se procura um modelo linear para os dados, ou seja, uma função $y = m x + n$ que os descreva da melhor forma possível. Assim, os parâmetros a considerar são $m$ e $n$ . Os valores ideais para essas variáveis seriam aqueles que verificassem as seguintes equações:

$\left\{\begin{matrix} 2002m + n & = & 17734\\ 2003m + n & = & 19669\\ 2004m + n & = & 20943\\ 2005m + n & = & 24083 \end{matrix}\right.$

Note que a partir dessas equações poderiam ser definidas as funções $h i$ como:

h 1 (m, n) = 2002 m + n - 17734

h 2 (m, n) = 2003 m + n - 19669

h 3 (m, n) = 2004 m + n - 20943

h 4 (m, n) = 2005 m + n - 24083

É de se esperar que o sistema de equações obtido a pouco não admitirá uma solução exata, pois se tem mais equações do que variáveis.

Isso geralmente acontece, pois é comum haver uma quantidade $p$ de equações bem maior que o número $n$ de parâmetros a identificar. Em particular, quando todas as equações $h i$ são lineares em suas $n$ variáveis, dificilmente existirá uma solução exata para o sistema linear resultante, pois este terá mais equações do que incógnitas (como no exemplo). Em geral, não é possível encontrar parâmetros que satisfaçam exatamente todas as equações. Por isso, costuma-se tentar identificar os parâmetros que "melhor se aproximam" de uma solução exata, em algum sentido.

Uma forma de obter uma solução aproximada (uma "quase-solução") resulta da seguinte observação: o valor de cada função $h i$ em uma solução exata $x$ deveria ser zero. Se tal exigência é restritiva demais, e com ela não é possível encontrar qualquer solução, uma possibilidade seria exigir um pouco menos. Por exemplo, poderia ser exigido apenas que o valor de $h i$ , para $i = 1, \ldots, p$ seja, em geral, pequeno. Uma das formas de capturar essa idéia em termos mais precisos é dizer que se pretende minimizar a soma dos quadrados dos valores de cada $h i$ . Em símbolos, o problema passaria a ser:

$\min_{x \in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^{p}\left[h_i(x)\right]^2$

Índice

1 O caso linear
- 1.1 Exemplo de aplicação
2 O caso não linear

[editar] O caso linear

Neste caso, para cada índice $i = 1, \ldots, p$ , a função $h i$ é afim linear, ou seja:

$h_i:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$

$h_i(x) = a_i^\top x + b_i$

onde $a_i \in \mathbb{R}^n$ e $b_i \in \mathbb{R}$ para cada $i = 1, \ldots, p$ . Deste modo, pode-se definir uma função $H$ como

$H:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^p$ de modo que

$H(x) = \begin{bmatrix} h_1(x)\\ \vdots \\ h_p(x)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^\top x + b_1\\ \vdots \\ a_p^\top x + b_p\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^\top\\ \vdots \\ a_p^\top\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_p\end{bmatrix}$

Motivando a introdução da seguinte notação:

$A = \begin{bmatrix} a_1^\top\\ \vdots \\ a_p^\top\end{bmatrix},\quad b = \begin{bmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_p\end{bmatrix}$

Assim,

H (x) = A x + b

Logo, buscar uma solução exata é o mesmo que procurar uma solução para o seguinte sistema linear:

A x = - b

E uma solução aproximada poderia ser buscada a partir do seguinte problema de minimização:

$\min_{x \in \mathbb{R}^n} \frac{1}{2}\|Ax + b\|^2$

Exercício

Verifique que se houver uma solução exata, ela também será um minimizador de $\sum_{i=1}^{p}\left[h_i(x)\right]^2$ . A recíproca é verdadeira?

Resolução

Primeiramente, observe que para qualquer

x

tem-se

$\sum_{i=1}^{p}\left[h_i(\bar{x})\right]^2 \ge 0$

Isso significa que $0$ é uma cota inferior para os valores assumidos por esta soma de quadrados. Além disso, se $\bar{x}$ é uma solução exata, então para cada índice $i$ tem-se:

$h_i(\bar{x}) = 0$

e consequentemente

$\sum_{i=1}^{p}\left[h_i(\bar{x})\right]^2 = \sum_{i=1}^{p} 0^2 = 0$

Então, em $\bar{x}$ a soma dos quadrados assume seu valor mínimo.

Não vale a recíproca, pois se para um certo $\tilde{x}$ a soma dos quadrados assumir um valor positivo $ε$ , então

$\sum_{i=1}^{p}\left[h_i(\bar{x})\right]^2 = \epsilon > 0$ implica que existe algum

i

tal que $h_i(\tilde{x}) > 0$

Isto significa que $\tilde{x}$ não satisfaz a equação de índice $i$ , e portanto não pode ser uma solução exata.

Analisando a função objetivo do problema de minimização anterior, tem-se:

$f(x) = \frac{1}{2}\|Ax + b\|^2 = \frac{1}{2} \langle Ax + b, Ax + b\rangle = \frac{1}{2}x^\top A^\top A x + b^\top A x + \frac{1}{2}b^\top b$

Logo, como $B = A^\top A$ é simétrica e semi-definida positiva, tem-se $f$ convexa. Isso implica que a condição necessária de primeira ordem é também suficiente. Assim, qualquer ponto $x \in \mathbb{R}^n$ tal que $\nabla f(x) = 0$ é solução do problema aproximado.

Calculando o gradiente da função objetivo tem-se:

$0 = \nabla f(x) = A^\top A x + A^\top b$

Deste modo, a solução do problema é obtida resolvendo o sistema

$A^\top A x = -A^\top b$

Observe também que isso implica $A^\top (A x + b) = 0$ , ou seja, $A x + b \in \ker(A^\top)$ .

[editar] Exemplo de aplicação

Considere dado um conjunto de pontos do plano $\mathbb{R}^2$ , por exemplo $\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{p}$ , representando dados obtidos experimentalmente.

Perguntas:

1. Qual é a função afim linear que melhor se aproxima dos dados experimentais?

Resolução

As funções afim lineares no plano são aquelas que possuem a forma

m x + b

. Então os parâmetros a identificar são

m

e

b

.

Como são as funções $h i$ ? Lembrando que tais funções teriam imagem igual a zero em uma solução exata, pode-se tomar $h i (m, b) = m x i + b - y i$

Assim,

$H(x) = \begin{bmatrix} h_1(x)\\ \vdots \\ h_p(x)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} mx_1 + b-y_1\\ \vdots \\mx_p + b-y_p\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} mx_1 + b\\ \vdots \\ mx_p + b\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -y_1\\ \vdots \\ -y_p\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ x_p & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m \\ b\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -y_1\\ \vdots \\ -y_p\end{bmatrix}$

A expressão final pode ser simplificada adotando a seguinte notação

$A = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots\\ x_p & 1 \end{bmatrix},\quad x = \begin{bmatrix} m\\ c\end{bmatrix},\quad c = \begin{bmatrix} -y_1\\ \vdots \\ -y_p\end{bmatrix}$

De fato, nesses termos tem-se

H (x) = A x + c

2. Qual é a função quadrática que melhor se aproxima dos dados experimentais?

Resolução

As funções quadráticas possuem a forma

a x 2 + b x + c

. Então os parâmetros a identificar são

a

,

b

e

c

.

Pode-se tomar $h_i(a,b,c) = ax_i^2 + bx_i + c - y_i$ .

Procedendo como antes, tem-se

H (x) = A x + c

onde

$A = \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ x_p^2 & x_p & 1 \end{bmatrix},\quad x = \begin{bmatrix} a\\ b \\ c\end{bmatrix},\quad c = \begin{bmatrix} -y_1\\ \vdots \\ -y_p\end{bmatrix}$

Exercício

Explorar o exemplo anterior com dados concretos, implementando um dos três métodos de gradientes conjugados.

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Observações

Conforme se aumenta o grau do polinômio que faz a aproximação dos dados, as colunas de $A$ têm elementos elevados a potências cada vez maiores, fazendo com que os autovalores de $A^\top A$ sejam cada vez mais dispersos. Com isso, $A^\top A$ torna-se mal condicionada.

Exercício

É possível, usando o problema de mínimos quadrados, verificar o postulado de Euclides que diz que "por dois pontos distintos passa uma única reta"?

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Exercício

Usando o problema de mínimos quadrados, é possível inferir que "por três pontos distintos passa uma única curva quadrática"?

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

[editar] O caso não linear

Para esse tipo de problemas, há dois métodos:

Gauss-Newton
Levemberg-Marquardt

Ambos são métodos do tipo Newton. Então, para entender cada um deles é preciso entender o Método de Newton.

[editar] O método de Newton

Para entender a essência do método de Newton, primeiro considere que o problema a ser resolvido é

$(P)\left\{\begin{matrix} \min f(x)\\ x \in \mathbb{R}^n \end{matrix}\right.$

sendo $h_j:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ , e portanto $f=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^p[h_j]^2$ de classe $\mathcal{C}^2 \left(\mathbb{R}^n\right)$ . A idéia de Newton é usar o desenvolvimento até segunda ordem da série de Taylor da função $f$ em cada ponto iterado. Isto é, se o iterado é $\bar{x}$ , então:

$Q(x) = f(\bar{x}) + \nabla f(\bar{x})^\top (x-\bar{x}) + \frac{1}{2}(x-\bar{x})\nabla^2 f(\bar{x}) (x-\bar{x})$

Então a condição de Newton é que em cada iteração a Hessiana $\nabla^2 f$ deve ser definida positiva.

Calculando o gradiente da função $Q$ , segue:

$\nabla Q(x) = \nabla f(\bar{x}) + \nabla^2 f(\bar{x}) (x-\bar{x})$

Se $x *$ é o (único) minimizador de $Q$ , então

$0 = \nabla Q(x^*) = \nabla f(\bar{x}) + \nabla^2 f(\bar{x}) (x^*-\bar{x})$

donde

$\nabla^2 f(\bar{x}) (x^*-\bar{x}) = - \nabla f(\bar{x})$

Sendo $\nabla^2 f$ definida positiva, tal matriz é também inversível. Portanto:

$x^* = \bar{x} - \left[\nabla^2 f(\bar{x})\right]^{-1} \nabla f(\bar{x})$

Assim, pode-se usar a seguinte iteração:

$x_{k+1} = x_k - \left[\nabla^2 f(x_k)\right]^{-1} \nabla f(x_k)$

[editar] Algoritmo de Newton (puro)

Início: Tome 
  Se , pare:  $x 0$  é ponto crítico.
  Senão, Calcule  $d 0$ , solução de
    
    Faça  $x 1 = x 0 + d 0$  e  $k = 1$ 
Iteração: Se , pare:  $x k$  é ponto crítico.
  Senão, calcular  $d k$ , solução de
    
    Faça  $x k + 1 = x k + d k$  e  $k = k + 1$

Voltando ao problema original, de mínimos quadrados, se tinha:

$f(x) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{p}\left[h_i(x)\right]^2$

Calculando o gradiente desta função, resulta:

$\nabla f(x) = \sum_{i=1}^{p}h_i(x)\nabla h_i(x)$

Considera-se $H:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^p$ definida por

$H(x) = \begin{bmatrix} h_1(x)\\ \vdots \\ h_p(x)\end{bmatrix}$

Deste modo, a Jacobiana de $H$ verifica:

$\nabla f(x) = \left[J_H(x)\right]H(x)$

pois o produto de uma matriz por um vetor tem como resultado um vetor que é a combinação linear das colunas da matriz, com coeficientes que são as coordenadas do vetor.

Além disso, tem-se

$\nabla^2 f(x) = \sum_{i=1}^{p} h_i(x)\nabla^2 h_i(x) + \sum_{i=1}^{p} \nabla h_i(x) \nabla h_i(x)^\top$

Seja

$B(x) = \sum_{i=1}^{p} \nabla h_i(x) \nabla h_i(x)^{\top} = J_H(x) J_H(x)^{\top}$

Sabe-se que uma matriz $D$ é definida positiva se $x t D x > 0$ para qualquer $x \not = 0$ . Fazendo $D = \nabla h_i(x) \nabla h_i(x)^\top$ , tem-se:

$x^\top \nabla h_i(x) \nabla h_i(x)^\top x = \left[\nabla h_i(x)^\top x\right]^2 \ge 0$

Para que $D$ seja definida positiva, é necessário que $S_P \left(\nabla h_i(x)\right) = \mathbb{R}^n$ ( deve gerar todo o espaço), neste caso, se diz que $J H (x)$ é de posto máximo.

[editar] Algoritmo de Gauss-Newton

Início: Tome 
  Se , pare:  $x 0$  é ponto crítico.
  Senão, Calcule  $d 0$ , solução de
    , onde 
    Faça  $x 1 = x 0 + d 0$  e  $k = 1$ 
Iteração: Se , pare:  $x k$  é ponto crítico.
  Senão, calcular  $d k$ , solução de
    
    Faça  $x k + 1 = x k + d k$  e  $k = k + 1$

[editar] Algoritmo de Levemberg-Marquardt

A idéia de Levemberg-Marquardt foi perturbar a matriz $B (x)$ , considerando $B (x) + ρ I$ , para algum $ρ > 0$ pequeno.

Início: Tome 
  Se , pare:  $x 0$  é ponto crítico.
  Senão, Calcule  $d 0$ , solução de
    , onde 
    Faça  $x 1 = x 0 + d 0$  e  $k = 1$ 
Iteração: Se , pare:  $x k$  é ponto crítico.
  Senão, calcular  $d k$ , solução de
    
    Faça  $x k + 1 = x k + d k$  e  $k = k + 1$

Exercício

Enumere as diferenças que existem nos seguintes algoritmos:

Newton
Gauss-Newton
Levenberg-Marquardt

Resolução

Newton

Desenvolvendo $f$ em série de Taylor e exigindo que a matriz hessiana de $f$ seja definida positiva o método de Newton usa $d_k=-[\nabla^2f(x_k)]^{-1}\nabla f(x_k)$ .

Gauss-Newton

Em alguns casos a matriz hessiana de $f$ pode ser bem complicada. Nesses casos então a idéia do método de Gauss-Newton é usar uma boa aproximação para essa matriz. Podemos escrever

$f(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^p [h_i(x)]^2=\frac{1}{2}\|h(x)\|^2=\frac{1}{2}h(x)^{\top}h(x)$ .

Usando Taylor em $h$ temos:

$h(\bar{x})=h(x)+J(x)(\bar{x}-x)$ onde $J (x)$ é a jacobiana de $h$ .

Substituindo $h(\bar{x})$ na $f$ temos

$\begin{align} f(\bar{x}) & =\frac{1}{2}h(\bar{x})^{\top}h(\bar{x})\\ & =\frac{1}{2}(h(x)+J(x)(\bar{x}-x))^{\top}(h(x)+J(x)(\bar{x}-x))\\ & =\frac{1}{2}[(h(x)^{\top}h(x)+2h(x)^{\top}(J(x)(\bar{x}-x))+(J(x)(\bar{x}-x))^{\top}(J(x)(\bar{x}-x))]\\ & =f(x)+h(x)^{\top}(J(x)(\bar{x}-x))+ (J(x)(\bar{x}-x))^{\top}(J(x)(\bar{x}-x)) \end{align}$

Calculando o gradiente e depois a segunda derivada temos:

$\nabla f(\bar{x})=J(x)^{\top}h(x)+J(x)^{\top}(J(x)(\bar{x}-x))$ e

$\nabla^2f(\bar{x})=J(x)^{\top}J(x)$

Denotando $B(x)=J(x)^{\top}J(x)$ , então o método de Gauss-Newton escolhe $d k$ tal que

$B(x_k)d_k=-\nabla f(x_k)$ .

Levenberg-Marquardt

A idéia do método de Levenberg-Marquardt é pertubar a matriz $B (x)$ um pouco, considerando $B (x) + ρ I$ com $ρ > 0$ pequeno.

Portanto o método de Levenberg-Marquardt escolhe $d k$ tal que

$(B(x_k)+\rho I)d_k=-\nabla f(x_k)$ .

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