Otimização/Funções convexas

Convexidade da soma de funções convexas

Sejam $D \subset \mathbb{R}^n$ um conjunto convexo e $f_i: D \rightarrow \mathbb{R}, i=1,...,p,$ funções convexas em D. $\forall \mu_i \in \mathbb{R}_+, i=1,...,p,$

Corolário de convexidade do supremo de funções convexas

Sejam $D \subset \mathbb{R}^n$ um conjunto convexo e $f_i: D \rightarrow \mathbb{R}, i \in I_p,$ funções convexas em D. $\forall \beta \in \mathbb{R}, f_i(x)\le \beta, \forall x \in D \and i \in I_n$

Corolário: Função composta de duas convexas é convexa

Sejam $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ uma função convexa e $\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ um função convexa e nãodecrescente.

Corolário: Convexidade de conjunto de nível de funções convexas

Suponhamos que o conjunto $D \subset \mathbb{R}^n$ seja convexo e a função $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ seja convexa em D.

Uma função é convexa se os vetores coordenadas são funções convexas

Definição

Seja $D \subset \mathbb{R}^n$ um conjunto convexo. Se todas as funções $g_i:D \subset \mathbb{R}, i \in I_m$ são convexas em D, então $g:D \subset \mathbb{R}^m$ é convexa em D