Otimização/Conjuntos convexos

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Intersecção de conjuntos convexos é convexo

Sejam $D_j \subset \mathbb{R}^n, j \in I_n ,$ conjuntos convexos, onde $I_n = \{ k \in \mathbb{N} / 1 \le k \le n, n \in \mathbb{N} \}$

Conjunto Poliedral

Definição

Um conjunto é poliedral se é a intersecção de hiperplanos e semi-espaços

A soma de convexos fechados é convexo e fechado

Sejam $D_j \subset \mathbb{R}^n, j=1,2$, conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.

Combinação convexa de p pontos

Definição

Seja $x^i \in \mathbb{R}^n, \alpha_i \in [0,1], i=1,...,p; \sum_{i=1}^{p}\alpha_i = 1$. A combinação convexa dos $x^i \in \mathbb{R}^n$ é o ponto$\sum_{i=1}^{p}\alpha_i \cdot x^i$

Teorema da combinação convexa

Um conjunto $D \in \mathbb{R}^n$ é convexo se, e somente se, a combinação convexa $\sum_{i=1}^{p}\alpha_ix_i \in D$, $\forall p \in \mathbb{N}, x^i \in D\; \and \alpha_i \in [0,1], i=1,...,p; \sum_{i=1}^{p}\alpha_i=1$,

Desigualdade de Jensen

Sejam $D \subset \mathbb{R}^n$ um conjunto convexo e $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ uma função convexa, $\forall p \in \mathbb{N}, x^i \in D\; \and \alpha_i \in \mathbb{R}_+, i=1,...,p; \sum_{i=1}^{p}\alpha_i=1$

Teorema de Carathéodory

Seja $x \in \mathbb{R}^n$ uma combinação convexa de pontos do conjunto $D \subset \mathbb{R}^n$.

Fecho convexo

Definição

O fecho convexa de um conjunto qualquer D é o menor conjunto convexo que contem D e simbolizado por conv D.

Definição

O conjunto de todas as combinações convexas de pontos de D, simbolizaremos por $comb D = \{ x \in \mathbb{R}^n; x=\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i x_i, \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i =1, x_i \in D \and \alpha_i \in \mathbb{R}_+, i=1,...,p; p \in \mathbb{N} \}$.

Corolário de um fecho convexo

Se $D \subset \mathbb{R}^n$

Corolário da compacidade do conv D

Seja $D \subset \mathbb{R}^n$ compacto