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Sejam conjuntos convexos, onde
Seja . Para quaisquer temos que para qualquer .
Como todo é convexo, para quaisquer e ,
- Definição
Um conjunto é poliedral se é a intersecção finita de hiperplanos e semi-espaços
Um conjunto poliedral em é convexo[editar | editar código-fonte]
O fecho e o interior de um conjunto convexo são convexos[editar | editar código-fonte]
A soma de convexos fechados é convexo e fechado[editar | editar código-fonte]
Sejam , conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.
Mostrar que é um conjunto convexo e fechado[editar | editar código-fonte]
- Definição
Seja . A combinação convexa dos é o ponto
Um conjunto é convexo se, e somente se, a combinação convexa , ,
Sejam um conjunto convexo e uma função convexa,
Mostrar que [editar | editar código-fonte]
Seja uma combinação convexa de pontos do conjunto .
Mostrar que [editar | editar código-fonte]
- Definição
O fecho convexa de um conjunto qualquer D é o menor conjunto convexo que contem D e simbolizado por conv D.
- Definição
O conjunto de todas as combinações convexas de pontos de D, simbolizaremos por .
Se
Seja compacto