O Formalismo Hiperdecimal dos Números/O Teste Universal de Divisibilidade

Os testes de divisibilidade no formalismo decimal consistem em dois momentos principais: no primeiro, testa-se a divisibilidade do número em questão pelos divisores elementais, 2, 3, 5 e 7; no segundo momento, testa-se a divisibilidade por todos os divisores com finais interessantes, desde 11 até a 10ª parte truncada do número.

Por exemplo, 653 é primo ou possui divisores inteiros? Testando as divisibilidades elementais:

653 não é divisível por 2, pois não é par.

653 / 3 = 06[2].03[1].21[7] ; (20/3) → não é divisível.

653 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5.

653 / 7 = 63[9].21[3] ; (20/7) → não é divisível.

No segundo momento ele teria de ser dividido por 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 51, 53, 57, 59, 61 e 63, uma vez que sua 10ª parte truncada é 65.

O Teste Universal de Divisibilidade previsto no Formalismo Hiperdecimal, utilizando-se do Método Alfabético, transforma os testes de divisibilidade em um sistema heterogêneo de equações não lineares que encontra consistência sempre que as incógnitas informam um divisor inteiro do número em questão.

No caso proposto, os 22 testes de divisibilidade seriam transformados em testes simples de combinação de incógnitas e de transportes.

Fundamentos do Teste Universal de Divisibilidade

O Teste Universal de Divisibilidade inicia com a multiplicação de dois números alfabéticos distintos que possam acolher a forma hiperdecimal simples do dividendo.

As somas da multiplicação, para cada ordem, considerados os possíveis transportes, constituem o sistema de equações não lineares que devem ser testadas para todas as combinações possíveis e viáveis para o valor das incógnitas.

• Ex. 1: Divisibilidade do 187

Os testes comuns seriam:

187 não divide por 2, pois é ímpar. Nem divide por 5, pois não termina em 0 ou 5.

187 / 3 = 18[6].06[2] ; (10/3) → não é divisível por 3.

187 / 7 = 14[2].42[6] ; (50/7) → não é divisível por 7.

187 / 11 = 11[1].77[7] → divisível por 11 e por 17.

187 / 13 = 13[1].52[4] ; (50/13) → não é divisível por 13.

Seja o produto alfabético do tipo ab x cd = ac.(ad+bc).bd

Restrição: «a» só deve resultar 0 ou 1, pois não há necessidade de se testar a divisibilidade para valores maiores do que 18, a 10ª parte truncada do número em questão.

Cada equação é representada pelo símbolo «&», e é numerada da direita para a esquerda.

&1: bd = p.07

&2: ad + bc + p = q.08

&3: ac + q = 01

Catalogando as combinações que satisfazem a &3: (a,c,q) = (0,c,1), (a,0,1), (1,1,0)

Catalogando as combinações que satisfazem a &1: (b,d,p) = (1,7,0), (3,9,2), (7,1,0), (9,3,2)

Na &2, testando cada (b,d,p) em cada (a,c,q):

(a,c,q) = (0,c,1) → &2: bc + p = 18

→ (b,d,p) = (1,7,0) → c + 0 = 18 → inválido, pois «c» não pode ser maior do que 9.

→ (b,d,p) = (3,9,2) → 3c + 2 = 18 → não há «c» inteiro que resolva.

→ (b,d,p) = (7,1,0) → 7c + 0 = 18 → não há «c» inteiro que resolva.

→ (b,d,p) = (9,3,2) → 9c + 2 = 18 → não há «c» inteiro que resolva.

(a,c,q) = (a,0,1) → &2: ad + p = 18

→ (b,d,p) = (1,7,0) → 7a + 0 = 18 → não há «a» inteiro que resolva.

→ (b,d,p) = (3,9,2) → 9a + 2 = 18 → não há «a» inteiro que resolva.

→ (b,d,p) = (7,1,0) → a + 0 = 18 → inválido, pois «a» não pode ser maior do que 9.

→ (b,d,p) = (9,3,2) → 3a + 2 = 18 → não há «a» inteiro que resolva.

(a,c,q) = (1,1,0) → &2: b + d + p = 08

→ (b,d,p) = (1,7,0) → 1 + 7 + 0 = 08 → válido.

→ (b,d,p) = (3,9,2) → 3 + 9 + 2 = 08 → inválido, pois a equação é falsa.

→ (b,d,p) = (7,1,0) → 7 + 1 + 0 = 08 → válido.

→ (b,d,p) = (9,3,2) → 9 + 3 + 2 = 08 → inválido, pois a equação é falsa.

As respostas foram a = 1, b = 1, c = 1, d = 7, o que resulta ab = 11, cd = 17 ou a = 1, b = 7, c = 1, d = 1, o que resulta ab = 17 e cd = 11.

Prova: 11 x 17 = 1.(7+1).7 = 187.

Decorre imediatamente que 11 e 17 são números primos, pois não há divisores inteiros com apenas 1 dígito.

Uma propriedade fundamental do teste universal de divisibilidade do formalismo hiperdecimal é a grande diminuição na quantidade dos testes conforme mais dígitos possuir o número em questão.

• Ex. 2: Divisibilidade do 4.199

Os testes normais de divisibilidade seriam muitos, pois incidiriam sobre os fundamentais e sobre todos os ímpares desde 11 até 417.

Seja o produto alfabético ab x cde = ac.(ad+bc).(ae+bd).be

4.199 não divide por 2 nem por 5.

4.199 / 3 = 03[1].09[3].27[9].27[9] ; (20/3)

4.199 / 7 = 35[5].63[9].36[9] ; (60/7)

4.199 não divide pelos fundamentais. Logo, pode-se impor as restrição de que a ≠ 0, e de que c: [0,4], pois os divisores em teste não precisam exceder 419.

O sistema de equações é:

&1: be = p.09

&2: ae + bd + p = q.09

&3: ad + bc + q = r.01

&4: ac + r = 04

1) Resolvendo as equações mais simples:

&1 → (b,e,p) = (1,9,0), (3,3,0), (7,7,4), (9,1,0)

&4 → (a,c,r) = (a,0,4), (1,1,3), (1,2,2), (1,3,1), (1,4,0), (2,1,2), (2,2,0), (3,1,1), (4,1,0)

2) Testando os (b,e,p) na &2:

(b,e,p) = (1,9,0) → &2: 9a + d + 0 = q.09 → (a,d,q) = (1,0,0), (2,1,1), (3,2,2), (4,3,3), (5,4,4), (6,5,5), (7,6,6), (8,7,7), (9,8,8)

(b,e,p) = (3,3,0) → &2: 3a + 3d + 0 = q.09 → (a,d,q) = (1,2,0), (2,1,0), (3,0,0), (4,9,3), (5,8,3), (6,7,3), (7,6,3), (8,5,3), (9,4,3)

(b,e,p) = (7,7,4) → &2: 7a + 7d + 4 = q.09 → (a,d,q) = (1,4,3), (2,3,3), (3,2,3), (4,1,3), (5,0,3), (6,9,10)**, (7,8,10)**, (8,7,10)**, (9,6,10)**

(b,e,p) = (9,1,0) → &2: a + 9d + 0 = q.09 → (a,d,q) = (1,2,1), (2,3,2), (3,4,3), (4,5,4), (5,6,5), (6,7,6), (7,8,7), (8,9,8), (9,0,0)

** Transportes excessivos são desconsiderados

3) Testando os (b)(a,d,q) correlatos aos (a,c,r) na &3:

(b)(a,d,q)(c,r) → &3: ad + bc + q = r.01

(1)(1,0,0)(0,4) → 0 + 0 + 0 = 41 (!)	(1)(1,0,0)(1,3) → 0 + 1 + 0 = 31 (!)	(1)(1,0,0)(2,2) → 0 + 2 + 0 = 21 (!)	(1)(1,0,0)(3,1) → 0 + 3 + 0 = 11 (!)
(1)(1,0,0)(4,0) → 0 + 4 + 0 = 01 (!)	(1)(2,1,1)(0,4) → 2 + 0 + 1 = 41 (!)	(1)(2,1,1)(1,2) → 2 + 1 + 1 = 21 (!)	(1)(2,1,1)(2,0) → 2 + 2 + 1 = 01 (!)
(1)(3,2,2)(0,4) → 6 + 0 + 2 = 41 (!)	(1)(3,2,2)(1,1) → 6 + 1 + 2 = 11 (!)	(1)(4,3,3)(0,4) → 12 + 0 + 3 = 41 (!)	(1)(4,3,3)(1,0) → 12 + 1 + 3 = 01 (!)
(1)(5,4,4)(0,4) → 20 + 0 + 4 = 41 (!)	(1)(6,5,5)(0,4) → 30 + 0 + 5 = 41 (!)	(1)(7,6,6)(0,4) → 42 + 0 + 6 = 41 (!)	(1)(8,7,7)(0,4) → 56 + 0 + 7 = 41 (!)
(1)(9,8,8)(0,4) → 72 + 0 + 8 = 41 (!)

(3)(1,2,0)(0,4) → 2 + 0 + 0 = 41 (!)	(3)(1,2,0)(1,3) → 2 + 3 + 0 = 31 (!)	(3)(1,2,0)(2,2) → 2 + 6 + 0 = 21 (!)	(3)(1,2,0)(3,1) → 2 + 9 + 0 = 11 (?)
(3)(1,2,0)(4,0) → 2 + 12 + 0 = 01 (!)	(3)(2,1,0)(0,4) → 2 + 0 + 0 = 41 (!)	(3)(2,1,0)(1,2) → 2 + 3 + 0 = 21 (!)	(3)(2,1,0)(2,0) → 2 + 6 + 0 = 01 (!)
(3)(3,0,0)(0,4) → 0 + 0 + 0 = 41 (!)	(3)(3,0,0)(1,1) → 0 + 3 + 0 = 11 (!)	(3)(4,9,3)(0,4) → 36 + 0 + 3 = 41 (!)	(3)(4,9,3)(1,0) → 36 + 3 + 3 = 01 (!)
(3)(5,8,3)(0,4) → 40 + 0 + 3 = 41 (!)	(3)(6,7,3)(0,4) → 42 + 0 + 3 = 41 (!)	(3)(7,6,3)(0,4) → 42 + 0 + 3 = 41 (!)	(3)(8,5,3)(0,4) → 40 + 0 + 3 = 41 (!)
(1)(9,4,3)(0,4) → 36 + 0 + 3 = 41 (!)

(7)(1,4,3)(0,4) → 4 + 0 + 3 = 41 (!)	(7)(1,4,3)(1,3) → 4 + 7 + 3 = 31 (!)	(7)(1,4,3)(2,2) → 4 + 14 + 3 = 21 (?)	(7)(1,4,3)(3,1) → 4 + 21 + 3 = 11 (!)
(7)(1,4,3)(4,0) → 4 + 4 + 3 = 01 (!)	(7)(2,3,3)(0,4) → 6 + 0 + 3 = 41 (!)	(7)(2,3,3)(1,2) → 6 + 7 + 3 = 21 (!)	(7)(2,3,3)(2,0) → 6 + 14 + 3 = 01 (!)
(7)(3,2,3)(0,4) → 6 + 0 + 3 = 41 (!)	(7)(3,2,3)(1,1) → 6 + 7 + 3 = 11 (!)	(7)(4,1,3)(0,4) → 4 + 0 + 3 = 41 (!)	(7)(4,1,3)(1,0) → 4 + 7 + 3 = 01 (!)
(7)(5,0,3)(0,4) → 0 + 0 + 3 = 41 (!)

(9)(1,2,1)(0,4) → 2 + 0 + 1 = 41 (!)	(9)(1,2,1)(1,3) → 2 + 9 + 1 = 31 (!)	(9)(1,2,1)(2,2) → 2 + 18 + 1 = 21 (?)	(9)(1,2,1)(3,1) → 2 + 27 + 1 = 11 (!)
(9)(1,2,1)(4,0) → 2 + 36 + 1 = 01 (!)	(9)(2,3,2)(0,4) → 6 + 0 + 2 = 41 (!)	(9)(2,3,2)(1,2) → 6 + 9 + 2 = 21 (!)	(9)(2,3,2)(2,0) → 6 + 18 + 2 = 01 (!)
(9)(3,4,3)(0,4) → 12 + 0 + 3 = 41 (!)	(9)(3,4,3)(1,1) → 12 + 9 + 3 = 11 (!)	(9)(4,5,4)(0,4) → 20 + 0 + 4 = 41 (!)	(9)(4,5,4)(1,0) → 20 + 9 + 4 = 01 (!)
(9)(5,6,5)(0,4) → 30 + 0 + 5 = 41 (!)	(9)(6,7,6)(0,4) → 42 + 0 + 6 = 41 (!)	(9)(7,8,7)(0,4) → 56 + 0 + 7 = 41 (!)	(9)(8,9,8)(0,4) → 72 + 0 + 8 = 41 (!)
(9)(9,0,0)(0,4) → 0 + 0 + 0 = 41 (!)

Os sistemas retornaram 3 soluções viáveis:

1) a = 1, b = 3, c = 3, d = 2, e = 3 → ab = 13 e cde = 323. Prova: 13 x 323 = 3.(2+9).(3+6).9 = 03.11.09.09 → 04|11|09|09 → 4.199

2) a = 1, b = 7, c = 2, d = 4, e = 7 → ab = 17 e cde = 247. Prova: 17 x 247 = 2.(4+14).(7+28).49 = 02.18.35.49 → 04|21|39|49 → 4.199

3) a = 1, b = 9, c = 2, d = 2, e = 1 → ab = 19 e cde = 221. Prova: 19 x 221 = 2.(2+18).(1+18).9 = 02.20.19.09 → 04|21|19|09 → 4.199

Decorre imediatamente do sistema que 13, 17 e 19 são números primos. Também se pode concluir que 323 = 17 x 19, 247 = 13 x 19, 221 = 13 x 17.

17 x 19 = 1.(9+7).63 = 01.16.63 → 03|22|63 → 323

13 x 19 = 1.(9+3).27 = 01.12.27 → 02|14|27 → 247

13 x 17 = 1.(7+3).21 = 01.10.21 → 02|12|21 → 221

Portanto, os divisores inteiros de 4.199 são 1, 13, 17, 19, 221, 247, 323 e 4.199

• Ex. 3: Divisibilidade de 653

Como visto, 653 não é divisível pelos elementais. O método tradicional requereria 22 divisões para confirmar se o número em questão é primo ou não.

Seja o produto alfabético ab x cd = ac.(ad+bc).bd

Restrições: a: [1,6] e c: [1,6], pois nenhum divisor pode ser superior a 65.

&1: bd = p.03

&2: ad + bc + p = q.05

&3: ac + q = 06

1) Resolvendo as equações mais simples:

&1: (b,d,p) = (1,3,0), (3,1,0), (7,9,6), (9,7,6)

&3: (a,c,q) = (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (1,4,2), (1,5,1), (1,6,0), (2,1,4), (2,2,2), (2,3,0), (3,1,3), (3,2,0), (4,1,2), (5,1,1), (6,1,0)

Na &2, testando cada (a,c,q) para cada (b,d,p):

(b,d,p) = (1,3,0) → &2: 3a + c + 0 = q.05 → (a,c,q)

(1,1,5) → 3 + 1 = 55 (!)	(1,2,4) → 3 + 2 = 45 (!)	(1,5,1) → 3 + 5 = 15 (!)	(1,6,0) → 3 + 6 = 5 (!)
(2,1,4) → 6 + 1 = 45 (!)	(2,2,2) → 6 + 2 = 25 (!)	(2,3,0) → 6 + 3 = 5 (!)	(3,1,3) → 9 + 1 = 35 (!)	(3,2,0) → 9 + 2 = 5 (!)
(4,1,2) → 12 + 1 = 25 (!)	(5,1,1) → 15 + 1 = 15 (!)	(6,1,0) → 18 + 1 = 5 (!)

(b,d,p) = (3,1,0) → &2: a + 3c + 0 = q.05 → (a,c,q)

(1,1,5) → 1 + 3 = 55 (!)	(1,2,4) → 1 + 6 = 45 (!)	(1,5,1) → 1 + 15 = 15 (!)	(1,6,0) → 1 + 18 = 5 (!)
(2,1,4) → 2 + 3 = 45 (!)	(2,2,2) → 2 + 6 = 25 (!)	(2,3,0) → 2 + 9 = 5 (!)	(3,1,3) → 3 + 3 = 35 (!)	(3,2,0) → 3 + 6 = 5 (!)
(4,1,2) → 4 + 3 = 25 (!)	(5,1,1) → 5 + 3 = 15 (!)	(6,1,0) → 6 + 3 = 5 (!)

(b,d,p) = (7,9,6) → &2: 9a + 7c + 6 = q.05 → (a,c,q)

(1,1,5) → 9 + 7 + 6 = 55 (!)	(1,2,4) → 9 + 14 + 6 = 45 (!)	(1,5,1) → 9 + 35 + 6 = 15 (!)	(1,6,0) → 9 + 42 + 6 = 5 (!)
(2,1,4) → 18 + 7 + 6 = 45 (!)	(2,2,2) → 18 + 14 + 6 = 25 (!)	(2,3,0) → 18 + 21 + 6 = 5 (!)	(3,1,3) → 27 + 7 + 6 = 35 (!)	(3,2,0) → 27 + 14 + 6 = 5 (!)
(4,1,2) → 36 + 7 + 6 = 25 (!)	(5,1,1) → 45 + 7 + 6 = 15 (!)	(6,1,0) → 54 + 7 + 6 = 5 (!)

(b,d,p) = (9,7,6) → &2: 7a + 9c + 6 = q.05 → (a,c,q)

(1,1,5) → 7 + 9 + 6 = 55 (!)	(1,2,4) → 7 + 18 + 6 = 45 (!)	(1,5,1) → 7 + 45 + 6 = 15 (!)	(1,6,0) → 7 + 54 + 6 = 5 (!)
(2,1,4) → 14 + 9 + 6 = 45 (!)	(2,2,2) → 14 + 18 + 6 = 25 (!)	(2,3,0) → 14 + 27 + 6 = 5 (!)	(3,1,3) → 21 + 9 + 6 = 35 (!)	(3,2,0) → 21 + 18 + 6 = 5 (!)
(4,1,2) → 28 + 7 + 6 = 25 (!)	(5,1,1) → 35 + 9 + 6 = 15 (!)	(6,1,0) → 42 + 9 + 6 = 5 (!)

Portanto, 653 é um número primo, indubitavelmente.

Testando as maiores aproximações, ou seja, as equações onde a diferença é 1:

1) a = 5, b = 1, c = 1, d = 3: 51 x 13 = 5.(15+1).3 = 05.16.03 → 06|16|03 → 663

2) a = 3, b = 9, c = 1, d = 7: 39 x 17 = 3.(21+9).63 = 03.30.63 → 06|36|63 → 663

Testando a maior diferença, ou seja, 54 + 7 + 6 = 5 do 3º sistema → 67 - 5 = 62:

a = 6, b = 7, c = 1, d = 9: 67 x 19 = 6.(54+7).63 = 06.51.63 → 11|57|63 → 1173

Dos testes das maiores aproximações se tem que 663 - 653 = 10, enquanto que dos testes das maiores diferenças se tem que 1173 - 653 = 620.

Uma propriedade importantíssima do sistema de equações é que as últimas soluções apontam para o décimo da diferença entre o número testado e o produto que resulta da interação entre os valores atribuídos às incógnitas.

Em outras palavras, o teste universal de divisibilidade não apenas testa todos os possíveis divisores inteiros do número em questão de um modo simples, mas também aponta claramente para o quão distante os divisores testados estão em relação ao dividendo.

Por exemplo, seja a 1ª proposta de solução 3 + 1 = 55. A diferença entre as partes é 3 + 1 - 55 = - 51. Espera-se que o produto das incógnitas resulte 653 - 510 = 143.

a = 1, b = 1, c = 1, d = 3: 11 x 13 = 1.(3+1).3 = 01.04.03 → 143