O Formalismo Hiperdecimal dos Números/Aplicações do Método Alfabético na Divisibilidade
Teoricamente a multiplicação é a operação algébrica complementar à divisão. Entretanto, tanto o método da chave quanto o modo linear de se realizar as divisões não são, necessariamente, algoritmos contrários ao processo de multiplicação, embora isso seja verdade em relação aos resultados.
Assim sendo, haveria, então, a necessidade de um algoritmo de divisão que fosse realmente contrário ao processo da multiplicação.
O Método Alfabético é a suposição de um número alfabético, isto é, um número constituído por incógnitas, que, ao interagir com o divisor, tenderia à formação hiperdecimal do dividendo. Isso implica em transformar divisões em sistemas de equações simples, onde o objetivo é fazer as equações se aproximarem maximamente às ordens hiperdecimais do dividendo.
O Método Alfabético[editar | editar código-fonte]
Embora o método alfabético facilite muito a realização das divisões, ele tem um grande inconveniente, pois requer um bom palpite inicial para a distribuição dos dígitos do quociente. Entretanto, não implica maiores dificuldades um palpite pequeno ou excessivo, pois o algoritmo é facilmente extensível, caso o palpite seja insuficiente, e não aumenta sobremaneira o custo operacional diante de palpites exagerados para a quantidade de incógnitas do resultado.
O método alfabético consiste em um número alfabético do tipo abc... , opq..., com todas as incógnitas restritas aos números naturais entre 0 e 9, que, ao ser multiplicado pelo divisor, gera um sistema de equações cujos resultados serão baseados nos transportes entre as ordens hiperdecimais do dividendo.
- Ex. 1: 1.634 / 19
A forma fundamental do dividendo é 16.03.04
Como o dividendo possui 3 ordens, é de se supor que o quociente tenha 2 dígitos:
19 x ab = 1a .(1b + 9a) . 9b → Sistema de Equações: { 1a = 16 ; 1b + 9a = 03 ; 9b = 04 }
1) Se a = 9, a 1ª ordem torna-se 09. A 2ª equação, com a transferência da 1ª ordem, se torna 1b + 81 = 73, o que implica b negativo e, por isso, inviável.
Se a = 8 → { 08 ; 1b + 72 = 83 ; 9b = 04 } → viável
2) Se b = 9, a 2ª ordem torna-se 81. A 3ª equação torna-se 9b = 24, mas 81 > 24, inviabilizando a possibilidade.
Se b = 8 → { 08 ; 8 + 72 = 80 ; 72 = 34 } → inviável
Se b = 7 → { 08 ; 7 + 72 = 79 ; 63 = 44 } → inviável
Se b = 6 → { 08 ; 6 + 72 = 78 ; 54 = 54 } → viável
Como a = 8, b = 6, o quociente é 86, com resto 0.
Prova: 19 x 86 = 08.(06 + 72).54 = 08.78.54 → 16|83|54 → 1634
- Ex. 2: 628,167 / 0,9605 = 628.167.10-3 / 9.605.10-4 = 6.281.670 / 9.605
A forma fundamental do dividendo é 62.08.01.06.07.00
O dividendo possui 6 ordens e o divisor possui 4. A parte inteira do quociente deve ter 3 ordens. Para assegurar se o quociente é natural ou não, seja ele do tipo abc,d:
9605 x abc,d = 9a.(9b + 6a).(9c + 6b).(9d + 6c + 5a).(6d + 5b).5c ; 5d
Sistema de Equações: { 9a = 62 ; 9b + 6a = 08 ; 9c + 6b = 01 ; 9d + 6c + 5a = 06 ; 6d + 5b = 07 ; 5c = 00 ; 5d = 00 }
1) Se a = 9 → 81 > 62; se a = 8 → 72 > 62; se a = 7 → 63 > 62
Se a = 6, a 1ª ordem torna-se 54, transferindo 62 - 54 = 8 para a ordem seguinte. A 2ª equação torna-se 9b + 36 = 88, o que é viável.
2) A 2ª equação torna-se, então, 9b = 88 - 36 = 52
Se b = 9, 8, 7 ou 6 isso é inviável, pois 81, 72, 63 ou 54 > 52
Se b = 5, a 2ª ordem torna-se 45 e a 3ª torna-se 9c + 30 = 71, o que é viável.
3) A 3ª equação torna-se, então, 9c = 71 - 30 = 41
Se c = 9, 8, 7, 6 ou 5 isso é inviável, pois 81, 72, 63, 54 ou 45 > 41
Se c = 4, a 3ª ordem torna-se 36, transferindo 41 - 36 = 5 para a ordem seguinte.
4) As equações restantes tornam-se 9d + 24 + 30 = 56 ; 6d + 25 = 07 ; 20 ; 5d
A 4ª equação implica d = 0. A questão é se há resto ou não.
Se d = 0, a 4ª ordem torna-se 54, transferindo 56 - 54 = 2 para a ordem seguinte.
A 5ª equação torna-se 6d + 25 = 27. Se d = 0, a 5ª ordem torna-se 25, transferindo 27 - 25 = 2 para a ordem seguinte.
Como a 6ª ordem deveria resultar 20 e recebe 20 da ordem anterior, isso implica 20 - 20 = 0 de resto.
Portanto, 628,167 / 0,9605 = 654 com resto 0.
Prova: 654 x 0,9605 = (654 x 9605).10-4
654 x 9605 = 54.36.00.30 + 00.45.30.00.25 + 00.00.36.24.00.20 = 54.(36+45).(30+36).(30+24).25.20 =
54.(07.11).66.54.25.20 = 54.81.66.54.25.20 → 62|88|71|56|27|20 → 6.281.670
6.281.670.10-4 = 628,167
- Ex. 3: 93.860.547 / 87.659
Por ter a primeira parte maior que o divisor, o dividendo é tomado na forma simples, como o seria no método clássico: 09.03.08.06.00.05.04.07.
Utilizando o método alfabético para calcular os 10 primeiros dígitos do quociente:
Começando com 4 dígitos: abcd x 87659 = 8a.(7a+8b).(6a+7b+8c).(5a+6b+7c+8d).(9a+5b+6c+7d).(9b+5c+6d).(9c+5d).9d
1) Tomando as primeiras equações: 8a = 9 ; 7a + 8b = 03
Se a = 1, a 1ª equação torna-se 08, transportando 10 para a equação seguinte: 7 + 8b = 13 → viável
2) A 2ª equação torna-se 8b = 06 → b = 0. Transporta-se 60 para a ordem seguinte.
3) A 3ª equação torna-se 6 + 8c = 68 → 8c = 62
Se c = 9 ou 8 → 72 ou 64 > 62.
Se c = 7 → 56 < 62. A 4ª equação torna-se 5 + 49 + 8d = 66 → 8d = 66 - 54 = 12 → viável
4) A 5ª equação torna-se 9 + 42 + 7d = 00
Se d = 1, transporta-se 12 - 8 = 4 para a 5ª equação → 51 + 7d = 40 → inviável
Logo, d = 0. A 4ª ordem torna-se 00 e transporta-se 120 para a ordem seguinte.
Portanto, o quociente parcial é a = 1, b = 0, c = 7, d = 0, ou seja, 1070.
A prova real é simples, pois basta substituir os valores das incógnitas no sistema de equações:
8.7.(6+56).(5+49).(9+42).35.63.00 = 08.07.62.54.51.35.63.00 → 09|13|67|59|55|41|63|00 → 93.795.130
Se d = 1 → 08.07.62.(54+8).(51+7).(35+6).(63+5).(00+9) = 08.07.62.62.58.41.68.09 → 09|13|68|68|62|47|68|09 → 93.882.789 > 93.860.547
Isso demonstra que, inequivocamente, 1070 é a parte inteira do quociente adequado.
Para aumentar mais duas ordens na precisão do resultado basta considerar os novos elementos de produto nos somatórios das equações:
abcd,ef x 87659 = 08.07.62.54.(51+8e).(35+7e+8f).(63+6e+7f).(00+5e+6f) ; (9e+5f).9f
5) A 5ª equação torna-se 51 + 8e = 120 → 8e = 120 - 51 = 69
Se e = 9 → 72 > 69
Se e = 8 → 64 ; 35 + 56 + 8f = 55 → inviável
Se e = 7 → 56 ; 35 + 49 + 8f = 135 → viável
6) A 6ª equação torna-se 84 + 8f = 135 → 8f = 135 - 84 = 51
Se f = 9, 8, ou 7 → 72, 64 ou 56 > 51 → inviável
Se f = 6 → 48 ; 63 + 42 + 42 = 34 → inviável
Se f = 5 → 40 ; 63 + 42 + 35 = 114 → inviável
Se f = 4 → 32 ; 63 + 42 + 28 = 194 → viável
O quociente parcial é 1070,74
A prova real é 08.07.62.54.(51+56).(35+49+32).(63+42+28).(00+35+24) ; (63+20).36 = 08.07.62.54.107.(10.16).(12.13).59;83.36 = 08.07.62.54.107.116.133.59;83.36
Ultradecimal: 09|13|68|65|119|129|139|67|;|86|36 → 93.859.997,66
Para mais 2 dígitos de precisão no quociente:
abcd,efgh x 87659 = 08.07.62.54.107.116.(133+8g).(59+7g+8h) ; (83+6g+7h).(36+5g+6h).(9g+5h).9h
7) Da 6ª equação se tem 51 - 32 = 19 de transporte. A 7ª equação torna-se 133 + 8g = 194 → 8g = 194 - 133 = 61
Se g = 9 ou 8 → 72 ou 64 > 61 → inviável
Se g = 7 → 56 ; 59 + 49 + 8h = 57 → inviável
Se g = 6 → 48 ; 59 + 42 + 8h = 137 → viável
8) A 8ª equação torna-se 8h = 137 - 101 = 36
Se h = 9, 8, 7, 6 ou 5 → 72, 64, 56 48 ou 40 > 36 → inviável
Se h = 4 → 32 ; 83 + 36 + 28 = 40 → inviável
Se h = 3 → 24 ; 83 + 36 + 21 = 120 → inviável
Se h = 2 → 16 ; 83 + 36 + 14 = 200 → viável
O quociente parcial é 1070,7462
Prova real: 08.07.62.54.107.116.(133+8g).(59+7g+8h) ; (83+6g+7h).(36+5g+6h).(9g+5h).9h =
08.07.62.54.107.116.(133+48).(59+42+16) ; (83+36+14).(36+30+12).(54+10).18 = 08.07.62.54.107.116.(17.11).(10.17) ; (12.13).78.64.18 =
08.07.62.54.107.116.181.117 ; 133.78.64.18 → 09|13|68|66|120|135|194|131| ; |141|84|65|18 → 93.860.541,1458
Para os 2 últimos dígitos:
abcd,efghij x 87659 = 08.07.62.54.107.116.181.117 ; (133+8i).(78+7i+8j).(64+6i+7j).(18+5i+6j).(9i+5j).9j
9) A 9ª equação torna-se 133 + 8i = 200 → 8i = 200 - 133 = 67
Se i = 9 → 72 > 67 → inviável
Se i = 8 → 64 ; 78 + 56 + 8j = 30 → inviável
Se i = 7 → 56 ; 78 + 49 + 8j = 110 → inviável
Se i = 6 → 48 ; 78 + 42 + 8j = 190 → viável
10) A 10ª equação torna-se 8j = 190 - 120 = 70
Se j = 9 → 72 > 70 → inviável
Se j = 8 → 64 ; 64 + 36 + 56 = 60 → inviável
Se j = 7 → 56 ; 64 + 36 + 49 = 140 → inviável
Se j = 6 → 48 ; 64 + 36 + 42 = 220 → viável
O quociente parcial, para 10 dígitos, é 1070,746266
Prova real: 08.07.62.54.107.116.181.117 ; (133+48).(78+42+48).(64+36+42).(18+30+36).(54+30).54 =
08.07.62.54.107.116.181.117 ; (17.11).(15.18).(13.12).(07.14).84.54 = 08.07.62.54.107.116.181.117 ; 181.168.142.84.84.54
Ultradecimal: 09|13|68|66|120|135|194|136| ; |199|183|151|92|89|54 → 93.860.546,931294
O resto é 06;09.09.09.09.09.10 - 06;09.03.01.02.09.04 = 00;00.06.08.07.00.06 → 0,068706
Aplicações do Método Alfabético[editar | editar código-fonte]
O Método Alfabético tem duas virtudes teóricas essenciais.
A primeira, e mais fundamental, é que ele é o método efetivamente contrário à multiplicação, a despeito do modo linear e do método da chave, que só são opostos à multiplicação em relação aos resultados.
A segunda, e não menos importante, consiste no fato de o método alfabético ser um forte candidato a modo como os processos de divisão poderiam vir a serem pensados pela inteligência artificial.
Pedagogicamente falando, o método alfabético em relação à divisão só é interessante no que refere à plasticidade mental, pois ele transforma totalmente o paradigma da operação algébrica, embora não seja mais simples que o modo linear em relação às divisões triviais previstas durante o processo educacional. Nesse sentido, o Método Maciel, que é a sistematização do Método Alfabético, torna-se mais interessante.
A maior virtude prática do método alfabético consiste nos testes universais de divisibilidade, que são capazes ou de demonstrar se um dado número é primo ou um falso primo, ou de apresentar quais seriam seus divisores todos.
Por ser um método importante e relativamente complexo, mereceu um capítulo à parte.