Notas de Mecânica/Colisões

colisões elásticas

Antes da colisão

Momentum linear antes da colisão:

${\vec {P}}_{i}={\vec {p}}_{1,i}+{\color {red}{\vec {p}}_{2,i}}$

${P}_{i}=m_{1}{v}_{1,i}$

Energia cinética antes da colisão:

$K_{i}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{i}^{2}$

Após a colisão:

Momentum linear após a colisão:

${\vec {P}}_{f}={\vec {p}}_{1,f}+{\color {red}{\vec {p}}_{2,f}}$

${P}_{f}=m_{1}{v}_{1,f}+{\color {red}m_{2}{v}_{2,f}}$

Energia cinética após a colisão:

$K_{f}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,f}^{2}+{\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,f}^{2}}$

Conservação de Momentum Linear:

${P}_{i}={P}_{f}$

$m_{1}{v}_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+{\color {red}m_{2}{v}_{2,f}}$

Reacrupando os termos

$m_{1}({v}_{1,i}-{v}_{1,f})={\color {red}m_{2}{v}_{2,f}}$

Conservação da energia cinética:

$K_{i}=K_{f}$

${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,i}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,f}^{2}+{\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,f}^{2}}$

Reacrupando os termos

${\frac {1}{2}}m_{1}(v_{1,i}^{2}-v_{1,f}^{2})={\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,f}^{2}}$

$m_{1}(v_{1,i}^{2}-v_{1,f}^{2})=m_{2}v_{2,f}^{2}$

$m_{1}(v_{1,i}-v_{1,f})(v_{1,i}+v_{1,f})=m_{2}v_{2,f}^{2}$

Usando a equação oriunda da conservação do momentum na equação anterior:

$m_{1}(v_{1,i}-v_{1,f})(v_{1,i}+v_{1,f})=m_{2}v_{2,f}^{2}$

${\color {red}m_{2}{v}_{2,i}}(v_{1,i}+v_{1,f})=m_{2}v_{2,f}^{2}$

${\color {red}{\cancel {m_{2}}}{v}_{2,i}}(v_{1,i}+v_{1,f})={\cancel {m_{2}}}v_{2,f}^{2}$

${\color {red}{\cancel {{v}_{2,f}}}}(v_{1,i}+v_{1,f})=v_{2,f}^{\cancel {2}}$

$(v_{1,i}+v_{1,f})=v_{2,f}$

Substituindo na equação do momentum:

$m_{1}{v}_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+m_{2}{\color {red}{v}_{2,f}}$

$m_{1}{v}_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+m_{2}{\color {red}(v_{1,i}+v_{1,f})}$

Reagrupando de maneira a escrever a velocidade final em termos da velocidade inicial:

$m_{1}{v}_{1,i}-m_{2}v_{1,i}=m_{1}{v}_{1,f}+m_{2}{v_{1,f}}$

logo:

${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$

Substituindo na equação que relaciona as velocidades teremos:

$(v_{1,i}+{\color {red}v_{1,f}})=v_{2,f}$

$(v_{1,i}+{\color {red}{\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}})=v_{2,f}$

Reescrevendo:

${\frac {(v_{1,i}({m_{1}+m_{2}})+{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}=v_{2,f}$

$v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}$

Resumindo:

Antes da colisão: após a colisão:

${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}v$

$v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}$

Alguns casos particulares

$m_{1}=m_{2}$

${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {{v}_{1,i}(m_{2}-m_{2})}{m_{2}+m_{2}}}=0$

$v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {2m_{2}{v}_{1,i}}{m_{2}+m_{2}}}={\frac {2m_{2}{v}_{1,i}}{2m_{2}}}={v}_{1,i}$

$m_{1}<<m_{2}$

${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {{v}_{1,i}(-m_{2})}{m_{2}}}=-{v}_{1,i}$

$v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{2}}}\approx 0$

$m_{1}>>m_{2}$

${v}_{1,f}={\frac {{v}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {{v}_{1,i}(m_{1})}{m_{1}}}={v}_{1,i}$

$v_{2,f}={\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}\approx {\frac {2m_{1}{v}_{1,i}}{m_{1}}}=2{v}_{1,i}$

Alvo em movimento

Se usarmos um referencial que se move com a velocidade inicial da partícula 2 (partícula alvo) caimos no mesmo caso anterior (alvo em repouso)

$V_{1,i}=v_{1,i}-v_{2,i};V_{1,f}=v_{1,f}-v_{2,i}$

$V_{2,i}=v_{2,i}-v_{2,i}=0;V_{2,f}=v_{2,f}-v_{2,i}$

Usando os resultados anteriores:

${V}_{1,f}={\frac {{V}_{1,i}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$

$V_{2,f}={\frac {2m_{1}{V}_{1,i}}{m_{1}+m_{2}}}$

Lembrando que:

$V_{1,f}=v_{1,f}-v_{2,i}\Longrightarrow v_{1,f}=v_{2,i}+V_{1,f}$

$V_{2,f}=v_{2,f}-v_{2,i}\Longrightarrow v_{2,f}=v_{2,i}+V_{2,f}$

$V_{1,i}=v_{1,i}-v_{2,i}$

Logo:

$v_{1,f}=v_{2,i}+{\frac {(v_{1,i}-v_{2,i})(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}$

$v_{2,f}=v_{2,i}+{\frac {2m_{1}(v_{1,i}-v_{2,i})}{m_{1}+m_{2}}}$