Números primos/A base prima

A base prima

Infinitos dedos

Quando o homem começou a contar ele pensou 1 dedo, mais um outro dedo 2 dedos. Daí mais um terceiro e terei três dedos... Quando chegou em dez arrumou um jeito de expressar os números maiores de diversas formas até que nossa excelente representação decimal foi descoberta. Só que ela não era a representação original na qual o conceito de número foi formulada.

Vamos, por um instante, imaginar que tivéssemos infinitos dedos e infinitas dimensões, vivendo num universo com infinitas dimensões e que fôssemos agora descrever os números. Como o faríamos? Com certeza começaríamos do 1. Se contássemos nossos dedos seqüencialmente nunca terminaríamos, pois com infinitos dedos não teríamos problemas com as colunas de nossa representação numérica (as unidades, as dezenas, as centenas, os milhares e assim por diante), pois em cada uma delas teríamos infinitos números.

Como contaríamos estes números? Será que como numa reta numérica??? Quando usamos uma base numérica selecionamos o mesmo número de símbolos que a base escolhida e formamos todos os outros números a partir destes. Na verdade, na base dez, escolhemos dez números (ao qual atribuímos os algarismos indo-arábicos para nossa conveniência), que possuem apenas uma dimensão (que estão sobre a reta numérica) e, em nosso orgulho de ser a raça mais inteligente deste planeta imaginamos ser a melhor maneira de representar os números...

No entanto, se pensarmos nas partições dos números baseadas em seus divisores veremos que o 1 não consegue gerar outros números, pois 1 * 1 é 1.

Assim, vamos mudar um pouco as coisas e imaginar que a representação que usamos 1 não é a melhor representação do um. Nós começamos a contar de maneira errada quando o fizemos pela primeira vez. Começamos do primeiro dedo, quando na verdade deveríamos ter começado do nada, ou seja, descobrindo o zero. Só depois de muitos séculos o homem descobriu o zero. Desta vez vamos começar do zero, tentando descobrir o que o "0" de fato significa. Isso pode parecer um tanto confuso para alguns, e numa análise detalhada, por que não dizer, para todos, já que nos acostumamos tanto com a representação decimal a ponto dela fazer parte de nós. Para entender este problema suponha que o número 1 fosse representado por N₀. A que conclusões poderíamos ter chegado? Talvez todo o desenvolvimento da Matemática tivesse sido diferente.

Vamos criar, então, uma base numérica infinita, tendo por base os números primos...

Infinitos primos, infinitas dimensões

O Nada

Imagine que começamos do nada.... Ora, o nada é estacionário, se ninguém mexer com ele ficará parado para sempre... Esse é o nosso "0" (zero).... Representa o nada e daí não se sai sem que alguma inteligência inicie o processo... Vamos, como seres inteligentes, iniciar o processo....

Uma dimensão 0

Imagine um ponto no nosso nada, um ponto da Geometria Euclidiana, sem dimensão alguma... Este ponto será o nosso "1"... Por conveniência devemos escolher outra notação para ele... Esta pode ser escolhida de várias maneiras... Neste ponto, não sabemos qual é a melhor notação, nós a estamos procurando... Utilizemos a princípio "0", querendo dizer, o número 1 com zero dimensões...

A primeira dimensão

Ora, se estamos num ponto, sem dimensão alguma, não podemos nos mover para lugar nenhum dentro dele. Para podermos sair precisamos ter pelo menos uma dimensão. O próximo passo é criá-la.

O que é algo de uma dimensão? Uma reta... Uma reta se estende para o infinito para um lado e para o outro e possui apenas uma dimensão, a qual, normalmente, chamamos comprimento. Conhecemos nossa reta numérica, julgamos que ela seja tudo o que existe e que, dela geramos planos e o espaço euclidiano.... Acreditamos que daí podemos referenciar todos os pontos que existem no Universo... Ledo engano...

Nesta reta colocamos os dez símbolos que utilizamos para representar nosso conceito de números e imaginamos que no conjunto dos números reais este universo comporta todos os números que existem... Quanto aos números complexos (aqueles que usam a unidade imaginária), usamos um plano para representá-los e nos satisfazemos... O que é interessante é que aí achamos um lugar para colocar uma reta a mais a fim de usar os números "imaginários"... Mas por hora voltemos a reta numérica e a observemos de outra maneira.

Olhando a reta numérica de maneira diferente

Reta numérica.

Observe a reta numérica ao lado. Suponha que isto não seja tudo o que está envolvido numa reta numérica... Fomos nós que nos acostumamos a este modelo e temos dificuldade em imaginar um modelo mais complexo.

Vamos imaginar que a base dos números não seja decimal, mas que seja infinita e que cada número primo seja parte da base numérica. Então nossa reta numérica é simplesmente a primeira dimensão do número primo 2 ou a de qualquer outro número primo. Quando localizamos o 1 na reta numérica nos referimos na verdade a ${2^{1}}$, quando localizamos o 2 nos referimos a ${2^{2}}$ e assim por diante....

Generalizando este conceito temos que o número "1" na verdade é uma classe.... O expoente de todos os números primos.... Podemos identificar, na realidade todo número primo como nosso "1".

Ampliando o "0"

Neste ponto podemos imaginar que o "0" com o qual identificamos nosso 1 na seção anterior também é, na verdade, uma classe. A de todos os primos elevados ao nosso 0 e, como sabemos da aritmética elementar, dá sempre 1.

A reta gerada com um único número

Quem já estudou logaritmos já deve ter percebido, neste estágio, que com o 2 podemos gerar todos os números reais positivos, bastando para isso considerar 2 elevado a todas as potências possíveis... Colocando um sinal de menos na frente do resultado obtemos todos os números reais negativos...

O zero não existe na reta númerica

Fica faltando somente o nosso 0, mas o nosso zero é o nada e o nada não tem um lugar numa reta real... Nada é nada... Nada não ocupa lugar algum no espaço. O zero a que nos acostumamos é um conceito abstrato. Ele não existe senão em nossa mente. O zero que existe na reta é o que criamos aqui, o "0", o qual nos acostumamos a chamar de 1 (um) e que representa a classe de todos os primos elevado ao zero tradicional, ou ao nada.