Métodos numéricos/Interpolação polinomial
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[editar] Introdução
A Interpolação consiste em determinar uma função (polinómio) que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).
Teorema: Dados n+1 nós x0,...,xn e os respectivos valores f0,...,fn ; existe um e só um polinómio interpolador de grau <= n para esses valores.
[editar] Existência e unicidade
[editar] Teorema de Weirstrass
[editar] Polinómios de Bernstein
[editar] Polinómio de Vandermond
[editar] Polinómio interpolador de Lagrange
[editar] Polinómio interpolador de Newton
Trata-se de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinómio interpolador, baseada numa construção sucessiva a partir dos polinómios de graus inferiores. Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença dividida.
As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos suficientemente próximos.
A diferença dividida de 1ª ordem é definida de uma forma geral por: f [ xi, xj] = ( fi - fj ) / ( xi - xj ) e uma diferença dividida de ordem k, pode ser obtida a partir das anteriores : f [ xi , ... , xi+k] = ( f [ xi+1, ... , xi+k ] - f [ xi, ... , xi+k-1 ] ) / ( xi+k - xi )
Fórmula de Newton
pn(x) = pn-1(x) + f [ x0 , ... , xn ] (x - x0) ... ( x - xn-1)
[editar] Splines cúbicos
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