Métodos numéricos/Exercícios computacionais

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Índice

1 Introdução
2 Aritmética computacional
3 Equações não lineares
4 Sistemas de equações lineares
5 Sistemas não lineares
6 Interpolação polinomial
7 Método dos mínimos quadrados
8 Integração e diferenciação numérica
9 Equações diferenciais ordinárias

[editar] Introdução

Alguns problemas computacionais.

[editar] Aritmética computacional

1. Usando o Octave, calcule e explique os resultados das seguintes operações:

$21023 + 2 1023 - 2 971 =$

$21023 - 2 971 + 2 1023 =$

$21023 - 2 1023 =$

$21023 - 2 1023 + 0.1 =$

$21023 + 0.1 - 2 1023 =$

2. O limite $C= \lim_{n\to+\infty} c_n=0.57721566490\ldots$ É chamada constante de Euler.

2.1 Escreva um programa que calcula $C$ com uma precisão de $10 - 6$ (Será que o consegue fazer?).

2.2 Verifique numericamente (para $n\le 10^7$ ) que o erro em cada iteração satisfaz a relação

$\epsilon_n=c_n-C =\frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$

Quando $n\to +\infty$ .

[editar] Equações não lineares

[editar] Sistemas de equações lineares

[editar] Sistemas não lineares

Para encontrar as raízes de um polinómio $p_n(x)= a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +\ldots+ a_n x^n$ , onde $a_1,a_2,\dots,a_n\in \R$ , pode-se desenvolver a factorização, onde $z_1, z_2,\ldots,z_n$ são as raízes do polinómio,

$p_n(x)=a_n(x-z_1)(x-z_2)\times \ldots\times (x-z_n)$

Estabelecendo um sistema de equações não lineares com a forma

$a_0 = a_n (-1)^n z_1\times\ldots \times z_n$

$a_1 = a_n (-1)^{n-1}\left(z_1 z_2 + z_1 z_3 +\ldots+z_1 z_n+ z_2 z_3 + z_2 z_4 +\ldots+z_2 z_n + \ldots + z_n z_1 + z_n z_2 +\ldots+z_n z_{n-1}\right)$

$\ldots$

$a_{n-1}= -a_n\left(z_1+z_2+\ldots z_n\right)$

Que tem uma única solução. Este processo leva a um método rápido e eficaz para se calcular todas as raízes de $p n (x)$ se se aplicar o método de Newton à resolução deste sistema não linear.

1. Suponha que existem zeros complexos para um polinómio com coeficientes reais. Haverá possibilidade de convergência do método de Newton para a solução do sistema se considerar todas as aproximações iniciais reais? Por quê?

2. Para o caso de polinómios de grau três, com a forma $p 3 (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0$ , escreva explicitamente o sistema não linear que deve resolver.

3. Aplique esse método para determinar aproximadamente as soluções de $x 3 + 3 x + 1 = 0$ , após ter escolhido uma aproximação inicial para a solução do sistema anterior. Use como critério de paragem $\vert\vert z^{(k+1)}-z^{(k)}\vert\vert\le 10^{-3}$ .

[editar] Interpolação polinomial

Exercício sobre os polinómios de Berstein.

[editar] Método dos mínimos quadrados

[editar] Integração e diferenciação numérica

[editar] Equações diferenciais ordinárias

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