Introdução aos Conceitos de Filosofia/Lição IV

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[editar] Raciocínios dedutivos, indutivos e abdutivos

[editar] Indução Matemática

Quando o grande matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ainda era um jovem estudante do primário, seu professor passou uma árdua tarefa para a classe, somar todos os números Naturais de 1 a 100, ou seja, 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100.

Contudo, Gauss retornou rapidamente com a resposta, 5050. Seu raciocínio foi o seguinte:

1+100=101

2+99=101

3+98=101

...

Ou seja, a somatória de todos os números Naturais de 1 a 100 é o mesmo que 50 adições cujo resultado é 101. Portanto:

$1+2+3+...+98+99+100 = 50\times 101 = 5050$

Não é necessário ser um gênio como Gauss para passar a aplicar este princípio a outras somatórias de números Naturais consecutivos começando por 1. Por exemplo:

$1+2+3++4+5+6+7+8+9+10 = 5\times 11 = 55$

$1+2+3+...+998+999+1000 = 500\times 1001 = 500500$

Podemos generalizar isto assim:

$1+2+3+...+\left(n-1\right)+n=\left(1+n\right)\times \frac{n}{2}$

Ou seja, toda somatória de números Naturais consecutivos de 1 a n resulta em n+1 vezes a metade de n.

Mas como provar isto com todo o rigor necessário para a Matemática?

Podemos fazê-lo por meio da Indução Infinita.

Indução Infinita consiste em um método de prova no qual, dado um conjunto infinito - neste caso, $\mathbb{N}^+$ - dada um propriedade $P\,\!$ , se $P\,\!$ for verificada para o primeiro elemento de do conjunto, e se for verificado que se $P\,\!$ vale para o k-ésimo elemento, então vale para o k-ésimo-primeiro, está provado que $P\,\!$ vale para todos os elementos do conjunto em questão.

Em termos mais simples, se verificada a propriedade $P\,\!$ no primeiro elemento do conjunto, e se da hipótese que um elemento qualquer do conjunto verifica $P\,\!$ for derivado que o sucessor deste também verifica $P\,\!$ , está provado que todos os elementos verificam $P\,\!$ .

Exemplo: