Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Múltiplos de 12 num dado intervalo

O problema

Calcule o número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578.

Uma solução

Esse problema é facilmente respondido utilizando a noção de progressão aritmética. Porém, como essa questão faz parte de um concurso aplicado a candidatos sem essa noção (ao menos considerando o currículo escolar brasileiro... é óbvio que alguns podem ter uma noção desse assunto por se interessarem por matemática, ou por já serem alunos do Ensino Médio que ainda possuam idade para prestarem o exame) nós vamos resolvê-la de maneira diferente. Vamos utilizar uma pequena noção de intervalos para solucioná-la. Vamos lá!

Seja k o número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578. Podemos perceber que 360 é o múltiplo de 12 mais próximo de 357.Então podemos escrever o seguinte:

360 ≤ 12.k ≤ 3576 (3576 porque é o múltiplo de 12 mais próximo de 3578)

30 ≤ k ≤ 298

Agora podemos perceber que o número de múltiplos de 12 será dado por:

k = 298 - 30 + 1 (aqui somamos 1 porque ao fazer a diferença, excluimos o 360, que por ser múltiplo de 12 deve ser "reabilitado")

k = 299 - 30

k = 269

E terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.