Eletromagnetismo/Campo elétrico

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[editar] Campo elétrico

Introduziremos agora o conceito de Campo Elétrico. Este conceito é análogo ao de Campo Gravitacional estudado em Mecânica Newtoniana.

Partindo da análise feita no capítulo anterior sobre o Princípio da Sobreposição, vimos que uma carga de prova (Q5) "sente" as demais cargas (Q1...Q4) através da força \vec F_{5} \,\! conforme a equação (1.2). Ou seja, a carga Q5 está sob influência de um campo elétrico gerado pelas cargas Q1...Q4.

No caso da gravitação um corpo C1 qualquer distorce o espaço-tempo a sua volta que resulta numa aceleração num corpo C2 qualquer que passe nas proximidades. Porém este corpo C2 também distorce o espaço-tempo que é percebido por C1. Para estudar o campo gerado por C1 com a menor influência possível de C2 este tem que ter uma massa muito menor que C1.

Um raciocínio análogo é feito em campos elétricos. Com a diferença que não é a massa que está em jogo, mas sim a carga elétrica.


Campo Elétrico


Ao contrário do que se pensava até fins do século XIX, as cargas elétricas são quantizadas. Não assumem valores discretos, mas sim são múltiplos inteiros de uma carga elementar. A primeira prova experimental de tal carga foi feita por Helmholtz em 1881 utilizando as leis da eletrólise de Faraday, que diz que a passagem de uma certa quantidade de eletricidade através de um eletrólito sempre causa o depósito, no eletrodo, de uma quantidade estritamente definida de um dado elemento. É portanto proporcional a seu equivalente eletroquímico, dado pelo seu peso atômico dividido pela valência. Mais tarde, Millikan (1910-16) fez o famoso experimento da gota de óleo num campo elétrico (veja mais em Millikan Oil-Drop Experiment. Em 1912 Ioffe, na Rússia, fez um experimento semelhante ao de Millikan, porém utilizando a irradiação de partículas de metal em pó (suspensas no ar) por luz ultravioleta. Todos os experimentos chegaram a mesma conclusão, de que a carga é um múltiplo inteiro de uma carga elementar, e seu valor foi determinado com maior ou menor precisão em cada um deles. O valor aceito atualmente desta carga elementar é e = 1,602177 . 10^{-19} C \,\!. Este é o valor da carga do elétron (negativo) e da carga do próton (positivo).


Existem cargas menores como a dos quarks, porém os quarks não "sobrevivem" isoladamente por muito tempo. Logo eles se combinam com outros quarks formando prótons e nêutrons, ou formam pares de quark-antiquark que são chamados mésons.

Prótons e neutrons são formados de 3 quarks cada. O próton é formado por 2 quarks tipo u e um quark tipo d ( uud ) . E o neutron por 2 quarks tipo d e um quark tipo u ( udd ) . A carga do quark tipo u vale 2/3 e\,\! e a do quark tipo d - 1/3 e \,\!.


Para estudarmos portanto o campo elétrico gerado por uma carga Qj qualquer utilizaremos uma segunda carga qi muito menor que a primeira. Uma carga elementar. Assim estudaremos os efeitos causados em qi pela carga Qj. Desta forma, dizemos que o Campo Elétrico é dado pela força sentida pela carga qi por unidade de carga. Ou seja:

\vec E_i = \frac{\vec F_i}{q_i} \qquad (2.1)\,\!

A unidade de campo elétrico é o N/C. Então teremos mais precisamente:

\vec E_i = \lim_{q_i\rightarrow 0} \frac{\vec F_i}{q_i} \left [ \begin{matrix} \frac{N}{C} \end{matrix} \right ] \,\!

Juntando as equações (1.2) e (2.1) teremos que:

\vec E_{i} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{j \ne i} \frac{Q_j}{(r_{ji})^2} \bold \hat r_{ji} \qquad (2.2) \,\!

Como discutimos anteriormente a Força Elétrica é um vetor. Da mesma maneira o Campo Elétrico também é um vetor que tem a mesma direção e sentido da força no ponto onde a carga qi se encontra.

[editar] Cálculo do campo elétrico

O cálculo do campo elétrico num ponto p qualquer devido a uma carga Q é dado pela equação:

\vec E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{(r)^2} \bold \hat r = \frac{\vec F}{q} \,\!

onde r é a distância da carga Q ao ponto p.

No caso de mais de uma carga agindo no ponto p o cálculo é feito utilizando-se a equação (2.2). Um caso de particular importância é quando temos 2 cargas de mesmo valor mas de sinais contrários separados por uma distância 2a (vide figura abaixo). Estudamos o campo elétrico num ponto p a uma distância d qualquer muito maior que 2a situado sobre a mediatriz do segmento que une Q + eQ − . A este sistema chamamos de Dipolo Elétrico. Dipol.png

Chamaremos as carga Q + eQ − de Q1eQ2 respectivamente. Logo o campo elétrico \vec E no ponto p é a soma vetorial dos campos \vec E_1 + \vec E_2. Os campos devido as cargas Q1eQ2 separadamente são:


\vec E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{(r_1)^2}\quad \,\!


\quad \vec E_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{(r_2)^2} \quad \,\!


O campo total \vec E será então:


\vec E = \vec E_1 + \vec E_2\,\!


Analisando a decomposição dos vetores campo em x e em y, conforme figura abaixo, vemos que as componentes em x se anulam, sendo o campo no ponto p composto somente pelas componentes em y dos campos \vec E_1 e \vec E_2. px500

Teremos então:


E_{1\mathit{y}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{(r_1)^2}\quad \sin \alpha \,\!


\quad E_{2\mathit{y}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{(r_2)^2} \quad \sin \alpha \,\!


sendo que r_1 = r_2 = \sqrt{d^2 + a^2} e \sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{d^2 + a^2}}. Sabemos também que os valores das cargas Q1 e Q2, conforme haviamos dito anteriormente, são iguais. Podemos então reescrever a equação para:

E = E_{1\mathit{y}} + E_{2\mathit{y}} = 2 . \frac{1}{4\pi\epsilon_0} . \frac{Q}{\left ( \sqrt{d^2 + a^2} \right ) ^2} . \frac{a}{\sqrt{d^2 + a^2}} \rightarrow \,\!
E = \frac{2Qa}{4\pi\epsilon_0} . \frac{1}{\left ( \sqrt{d^2 + a^2} \right ) ^\frac{3}{2}} \,\!

como d \gg 2a poderemos desprezar a na equação. Teremos então:

E \cong \frac{2Qa}{4\pi\epsilon_0} . \frac{1}{d^3} \,\!

Chamamos ao produto 2Qa = \mathit{p}\,\! de momento do dipolo elétrico. Então:

E \cong \frac{\mathit{p}}{4\pi\epsilon_0} . \frac{1}{d^3}\qquad (2.3) \,\!

Observem que num dipolo o campo decresce com o cubo da distância e não com o quadrado como no caso de uma carga isolada.


Enseignant au tableau.gifPARA PENSAR (2.1)
Esta é uma nova área em nosso livro, o "Para Pensar". Uma pausa no texto onde iremos propor alguns problemas ou situações para que o leitor possa por em prática o conhecimento apresentado até o momento. O "Para Pensar" tem a finalidade de fixar os conceitos e estimular o raciocínio dos leitores. Ao final do livro colocaremos a solução do problema ( ou uma das soluções, caso exista mais de uma ).

Vamos ao problema: Acabamos de ver um dipolo elétrico. Imagine o dipolo da figura acima, tendo as cargas negativa e positiva presas uma à outra. Agora colocaremos este dipolo num campo elétrico uniforme com linhas paralelas (vide item Linhas de força abaixo) e perpendiculares ao eixo que une as cargas. O que acontecerá ao dipolo?

Uma outra situação interessante é a de um anel carregado. Tendo um anel uniformemente carregado (digamos positivamente), calcularemos o campo elétrico num ponto p situado a uma distância x do centro do anel. Vide a figura abaixo:

Anel.png

Para esta análise utilizaremos os conceitos de diferencial e integral. Sobre estes assuntos recomendamos a leitura do livro Cálculo I.

Tomemos um elemento do anel dS \,\! que contém uma carga elementar dq \,\! dada por:

dq = q \frac{dS}{2\pi a}\,\!

onde a é o ráio do anel e 2\pi a \,\! é a circunferência.

Este elemento produz um campo elétrico diferencial d\vec E \,\! no ponto p, conforme mostra a figura acima. Para obtermos o campo elétrico resultante em p deveremos integrar os efeitos de todos os elementos do anel. Como o campo é um vetor teremos a seguinte integral vetorial:

\vec E = \int d\vec E \,\!

Como vimos no exemplo do dipolo, aqui também teremos a anulação de uma componente dos vetores. Neste caso será a componente em y que será anulada. Poderemos, então, reescrever a equação acima como uma integral escalar, levando-se em conta somente as componentes do eixo x.

E = \int dE \cos \alpha \,\!

como \quad dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q dS}{2\pi a} \right) \frac{1}{a^2 + x^2} \qquad onde \quad a^2 + x^2 = r^2 \,\!

e \qquad \cos \alpha = \frac{x}{\sqrt {a^2 + x^2}}\,\!

teremos:

E = \int dE \cos \alpha = \int \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qdS}{(2\pi a)(a^2+x^2)} \frac{x}{\sqrt {a^2 + x^2}} = \,\!
= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qx}{(2\pi a)(a^2+x^2)^\frac{3}{2}} \int dS \,\!

O valor da integral \int dS \,\! é a própria circunferência do anel (2\pi a)\,\!.

E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qx}{(a^2+x^2)^\frac{3}{2}}. \,\!

fazendo-se x \gg a \,\! temos:

E \cong \frac{1}{4\pi\epsilon_0} . \frac{q}{x^2}\qquad (2.4) \,\!

Compare a equação (2.4) com a (2.2). Concluimos que a distâncias muito maiores que o raio do anel, ele se comporta como uma carga puntiforme.

Enseignant au tableau.gifPARA PENSAR (2.2)
Tente agora equacionar o campo elétrico num ponto p qualquer devido a uma barra reta suposta infinita (cujo comprimento é muito maior que a distância do ponto p à barra) carregada uniformemente.

[editar] Linhas de força

Vimos que a toda carga elétrica está associado um campo elétrico que a envolve. Sabemos disto pois ao analizar-se um ponto qualquer desta região, colocando-se uma carga de prova, detectamos a presença de uma força (Força Elétrica) neste ponto. Mas como "visualizar" este campo?

Quando espalhamos limalha de ferro sobre um campo magnético de um imã permanente (que estudaremos mais tarde) verificamos um alinhamento da limalha na direção do campo, concentrando-se nas áreas de maior intensidade do campo (ver em Linhas de Força). Foi inspirado na limalha de ferro que Faraday introduziu o conceito de Linhas de força do campo.

Linha de força é definida como uma curva tangente em cada ponto à direção do campo neste ponto. Assim, dada uma linha de força, fica fácil determinarmos a direção do campo elétrico em cada ponto, pois será a tangente à curva. Além da direção, as linhas de força nos fornecem também o sentido do campo no ponto, indicado por sua orientação. Somente a intensidade não é possível de se determinar. Mas analizando a densidade de linhas num determinado ponto teremos uma idéia de regiões cujos campos são mais ou menos intensos.

Como vimos anteriormente (Cargas elétricas) existem cargas positivas e negativas. Convencionaremos que as linhas de força de uma carga puntiforme terão direção radial apontando para "fora" se for positiva ou para "dentro" se for negativa (veja a figura abaixo).


Linhas 1.png


Visto isto, como ficariam as linhas de força do nosso Dipolo Elétrico estudado no item anterior? Como as cargas positivas e negativas se atraem, as linhas de força que "saem" da carga positiva encontram-se com as linhas que "entram" na carga negativa. Esquematicamente seria como a figura abaixo:


Linhas 2.png


Devemos nos lembrar que existe ainda a simetria axial em torno do eixo z. As figuras estão representadas somente no plano ( x y. A figura acima, por exemplo, deverá ser repensada fazendo-se a rotação em torno do eixo que une as duas cargas. Como ilustração, as linhas de força de uma carga positiva, por exemplo, seria representada como a figura abaixo:


Linhas3D.png


É importante reconhecer os eixos de simetria de um problema, pois nos permite prever a simetria das linhas de força. O que nos será muito útil no estudo a seguir de Fluxo Elétrico e a Lei de Gauss. No caso da figura acima, de uma esfera carregada, as linhas de força são radiais, sendo portanto de simetria esférica. Agora imagine um plano carregado positivamente, por exemplo. Teremos uma simetria plana com as linhas de força paralelas entre si e perpendiculares ao plano. Repare que o sentido das linhas acima e abaixo do plano são opostos.

Em um fio cilindrico carregado teremos a simetria radial, com as linhas de força radiais em planos perpendiculares ao fio. Tem a direção do vetor unitário \hat \rho em coordenadas cilindricas (\rho , \phi ,z) \,\!.

[editar] Lei de Gauss

[editar] Fluxo

[editar] Lei de Gauss

[editar] Aplicações da Lei de Gauss

[editar] Divergência de um vetor e equação de Poisson

[editar] Circuitação, rotacional de um vetor e teorema de Strokes

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