Curso de termodinâmica/Variação de entropia dos gases perfeitos-Ciclo de Carnot

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.

Entropia
Term. estatística. Segunda lei Proc. reversíveis Evolução espontânea Proc. irreversíveis Ciclo de Carnot

Índice

[editar] Ciclo de Carnot

Considerações iniciais:

Durante o processo reversível de um estado (T1, V1, P1) para um estado (T2, V2, P2), temos:

dS\;=\;\frac{\delta q}{T} segunda lei





dS\;=\;\frac{dE\;\;+\;PdV}{T} primeira lei





dE\;=\;C_V dT gás perfeito




Em conseqüência:


dS\;=\;\frac{C_vdT\;+\;PdV}{T}


então:


\Delta S\;=\; C_V\; ln \frac{T_2}{T_1}\;+\;nR\; ln\frac{V_2}{V_1}


Porém, para um gás perfeito


C_P=\;C_V\;+\;nR \qquad e\qquad \frac{P_1V_1}{T_1}\;=\;\frac{P_2V_2}{T_2}\;=\;nR




o que leva a :


\Delta S\;=\;C_p\;ln\frac{T_2}{T_1}\;-\;nR\;ln\frac{P_2}{P_1}


[editar] Definição do ciclo

Um ciclo de Carnot compreende quatro etapas reversíveis que aplicamos a n mols de um gás perfeito:


  • Uma dilatação (descompressão) isoterma a temperatura T1 = T2 = Tfonte quente;
  • Uma dilatação adiabática de Tfonte quente a T3 = Tfonte fria;
  • Uma compressão isoterma a T3 = T4 = Tfonte fria;
  • Uma compressão adiabática de T4 = Tfonte fria à T1 = Tfonte quente.


[editar] As etapas do ciclo de Carnot

O ciclo de Carnot constitui um exemplo simples de máquina, quer dizer um instrumento que permite a conversão de calor em trabalho ou de trabalho em calor.


Cálculo de w, q e E para cada etapa


[editar] Etapa A

Durante a expansão isoterma, uma quantidade de trabalho wA é fornecida (perdida) pelo sistema. Simultaneamente, o calor qA é absorvido:


\Delta E_A\;=\;0


w_A\;=\;-\int_{v_1}^{V_2}PdV\;=\;-nR\;T_1\;ln\frac{V_1}{V_2}<0


q_A\;=\;-w_A\;=\;nRT_1\; ln\frac{V_2}{V_1}> 0


[editar] Etapa B

A expansão adiabática do gás conduz a um resfriamento da temperatura da fonte quente T1 = T2 para a temperatura da fonte fria T3 = T4. O trabalho é fornecido pelo sistema (é uma expansão ) mas acontece nenhuma transferência de calor.


\Delta E_B\;=\;w_B\;=\;-n\bar C_V(T_{fonte\;quente}\;-\;T_{fonte_fria})\;<\;0


\;q_B\;=\;0


[editar] Etapa C


\Delta e_c\;=\;0


w_c\;=\;-\int_{v_3}^{V_4}PdV\;=\;-nRT_3\;ln\frac{V_3}{V_4}\;>\;0


q_C\;=\;-w_c\;=\;nRT_3\;ln\frac{V_4}{V_3}\;<0


[editar] Etapa D

\Delta E_D\;=\;w_d\;=\;n\bar C_V(T_{fonte\;quente}-T_{fonte\;fria}\;>0


A equação de estado do gás permite de simplificar as expressões. Assim, durante a expansão adiabática (etapa B), temos:


dE_B\;=\;n\bar {C}_VdT\;=\;\delta w_b\;=\;-PdV

seja:

\bar C_VdT\;=\;-\frac {RT}{V} dV


\bar C_V \frac{dT}{T}\;=\;-\;R\frac{dV}{V}


\bar C_V\;ln\;\frac {T_{fonte\; fria}}{T_{fonte\;quente}}\;=\;-\;R\;ln\;\frac{V_3}{V_2}\;=\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_3}


Da mesma maneira, para a compressão adiabática (etapa D):


C_V ln \frac{T_{fonte\;quente}}{T_{fonte \;fria}}\;=\;-R\;ln\frac{V_1}{V_4}


Deduzimos de estas relações:

\frac{V_2}{V_1}\;=\;\frac{V_3}{V_4}



[editar] Balanço do ciclo

a) calor

q_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;q_i\;=\;q_A\;+\;q_C


q_{ciclo}\;=\;nRT_{fonte\;quente}\;ln\frac{V_2}{V_1}\;+\;nRT_{fonte\;fria}\;ln{V_4}{V_3}


q_{ciclo}\;=\;nR\;ln\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;quente}\;-\;T_{fonte\;fria})\;=\;0


b) trabalho

w_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;w_i\;=w_A\;+\;w_C\qquad porque\qquad w_B\;=\;-\;w_D


w_{ciclo}\;=\;-q_A\;-\;q_C


w_{ciclo}\;=\;n\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente})\;<\;0

c) energia

\Delta E\;=\;w_{ciclo}\;+\;q_{ciclo}\;=0, segundo à primeira lei, verificamos igualmente que nem o trabalho nem o calor são funções de estado.


Globalmente, o sistema absorveu calor e forneceu trabalho. O ciclo de Carnot é um exemplo simples de uma máquina, quer dizer de um sistema capaz de transformar calor em trabalho. Um veiculo automóvel é um outro exemplo de máquina (a combustão da gasolina fornece calor que é transformado em trabalho de deslocamento). O resultado do ciclo de Carnot sugere que poderíamos recuperar em trabalho 100 % do calor fornecido. Mesmo se não tivesse nenhuma perda de calor por condução e de energia mecânica por atrito, não poderia acontecer porque o calor q3 é devolvido pelo sistema no lugar frio da maquina e, em prática, não pode ser reutilizado pelo operador da máquina. O rendimento máximo de uma máquina de Carnot é :

rendimento\;=\;\frac{-w_{ciclo}}{q_A}\;=\;1+\frac{q_C}{q_A}\;=\;\frac{T_{ fonte\;frio}}{T_{fonte\; quente}}

[editar] Conversão de trabalho em calor

Se percorrermos o ciclo de Carnot no sentido inverso, o sistema recebe energia mecânica e fornece calor em troca . É o principio da geladeira e da bomba a calor. Um gás é comprimido à temperatura do local. Fazendo isso, ele libera calor. O gás é transportado para a fonte fria ( dentro da geladeira ou fora do prédio) onde sua expansão é acompanhada de uma adsorção de calor.


[editar] Verificação da segunda lei

S sendo uma função de estado, temos S ciclo = 0. De outro lado, como cada etapa é reversível:

\Delta S_i\;=\;\frac{q_i}{T}


Verificamos que:


\Delta S_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\Delta S_i\;=\;\sum_{ciclo}\frac{q_i}{T}\;=\frac{q_A}{T_{fonte\;quente}}\;+\;\frac{q_C}{T_{fonte\;fria}}\;=\;0
Obtido em "http://pt.wikibooks.org/wiki/Curso_de_termodin%C3%A2mica/Varia%C3%A7%C3%A3o_de_entropia_dos_gases_perfeitos-Ciclo_de_Carnot"