Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

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Definição: Seja ${a n}$ uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:

$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots$

Seja $\sum a_n$ uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência $S n$ , onde

S 1 = a 1

S 2 = a 1 + a 2 = S 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3 = S 2 + a 3

$\vdots$

$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n$

Definição: Seja $\sum a_n$ uma série e $S n$ a sua seqüência de somas parciais.

Se $\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|$ < $\infty$ , a série é dita convergente e tem soma S
Caso contrário, a série diverge

Se $\sum a_n$ é uma série convergente, então $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

Se $\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$ , então a série $\sum a_n$ diverge.

São séries do tipo $\sum a \cdot r^{n-1}$ .

A série geométrica:

Converge se e só se $a = 0$ ou $| r | < 1$ .
Se $a = 0$ , então $\sum a \cdot r^{n-1} = 0$ (independentemente do valor de $r$ ). Se $| r | < 1$ , então $\sum a \cdot r^{n-1} = \frac{a}{1 - r}$ .

Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ duas séries convergentes. Então $\sum (a_n \pm b_n)$ = $\sum a_n \pm \sum b_n$ converge
Se $\sum a_n$ converge (diverge) e $k \not= 0$ , então $\sum k\cdot a_n = k\sum a_n$ converge (respectivamente, diverge) (se $k = 0$ , então $\sum k\cdot a_n = 0$ converge)
Se $\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ diverge, então $\sum (a_n \pm b_n)$ diverge
Sejam as séries $\sum a_n$ e $\sum b_k$ tais que $b k = a n$ a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.