Cálculo (Volume 1)/Conceitos básicos (funções)

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Índice

1 Conceitos básicos
- 1.1 Definições iniciais:
- 1.2 Operações com funções

[editar] Conceitos básicos

[editar] Definições iniciais:

Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.

[editar] Função, domínio e imagem

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em $\R \Rightarrow \{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,+\infty\} \,\!$ , então tomamos $x \,\!$ e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em $\R \,\!$ e portanto dizemos que:

A é o domínio da variável .

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas $f \,\!$ , quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a $f \,\!$ , dizemos que:

B é função de A.

Sendo B obtido através das regras de $f \,\!$ :

A é domínio da função .

Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por $f \,\!$ , os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

B é imagem da função .

[editar] Extensões de domínios

Observemos a expressão: $\sqrt{12-x}$ Note que assim que atribuirmos valores a $x$ , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raizes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de $x$ , então teremos:

Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.

Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: $log x$ , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:

Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuidos à variável, chamamos este de extremo aberto.

[editar] Notações

O conjunto de números B $\{-\infty,\dots,y_1, y_2, y_3,\dots,+\infty\} \,\!$ dos quais $y_n \,\!$ dependem do conjunto A $\{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} \,\!$ de onde temos $x_n \,\!$ , estabelecemos o par de números $\{x_n , y_n\} \,\!$ , ou simplesmente:

Este é chamado de par ordenado.

Sendo também $f \,\!$ a representação dos valores de $(x, y) \,\!$ , então podemos dizer que:

Sendo $f(x) \,\!$ o valor de $y \,\!$ quando definido pelas operações em $f \,\!$ .

Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:

Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma: