Álgebra linear/Sistemas de equações lineares

Este estudo de álgebra linear começará com a análise dos sistemas de equações lineares. Tais sistemas aparecem frequentemente em matemática aplicada, economia e engenharia ao modelar certos fenômenos. Por exemplo, em programação linear, geralmente é discutido como maximizar o lucro quando existem certas restrições relacionadas a dificuldade, disponibilidade de tempo, ou outras condições. Estas restrições podem ser colocadas na forma de um sistema de equações lineares.

Equações lineares

Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de termos que são constantes ou o produto de uma constante pela primeira potência de uma variável.

Conforme a natureza do problema que dá origem a equação, as constantes e as variáveis podem ser números inteiros, reais, complexos ou ter uma estrutura ainda mais geral (veja, por exemplo, um artigo sobre "corpos" na Wikipédia). No caso dos números inteiros, chama-se a equação de "equação linear diofantina", e seu estudo é feito na teoria de números.

Neste Wikilivro, será considerado que as constantes e as variáveis de uma equação linear são elementos de um subcorpo $F$ do corpo dos números complexos. Os elementos de $F$ serão chamados de escalares. Para a maior parte do texto, o leitor não familiarizado com corpos e outras estruturas algébricas pode admitir que os escalares são os números complexos.

Uma caracterização mais formal do que se entende por "equação linear" é a seguinte:

Definição

Uma equação linear em $n$ variáveis sobre o corpo $F$ é uma equação que pode ser colocada na forma $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\ldots +a_{n}x_{n}=b$, sendo que os escalares $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ são denominados coeficientes, e $b$ é chamado de termo independente, ou termo constante.

Cada equação linear pode ser vista como uma igualdade entre zero e um polinômio do primeiro grau em várias variáveis, uma vez que:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\ldots +a_{n}x_{n}=b\ \Leftrightarrow$$\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\ldots +a_{n}x_{n}-b\ =\ 0$

Como foi ressaltado no exemplo, para uma equação ser chamada de "linear", ela não precisa necessariamente estar com todas as variáveis no membro esquerdo da equação, embora seja usual escrevê-la assim. Como será visto posteriormente, usando essa convenção é possível simplificar a resolução de sistemas de equações lineares (veja adiante), introduzindo o conceito de matriz.

Soluções de uma equação linear

Definição

Uma solução da equação linear $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\ldots +a_{n}x_{n}=b$ é uma $n$-upla (um vetor) $s=(s_{1},s_{2},\ldots s_{n})$, cujas entradas $s_{j}$ podem ser colocadas no lugar de cada $x_{j}$, para $j=1,\ldots ,n$, de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto solução de uma equação linear é aquele formado por todas as suas soluções.

Por exemplo, $(-1,-1)$ é uma solução da equação linear $x+3y=-4$, uma vez que $(-1)+3\times (-1)=-1+(-3)=-4$, mas $(1,5)$ não.

No caso em que a quantidade de variáveis em uma equação linear é menor ou igual a três, pode-se associar ao seu conjunto solução, uma interpretação geométrica. Acompanhe os exemplos a seguir:

Representação gráfica de duas equações lineares

Pode-se generalizar a relação entre equações lineares e geometria para o caso em se tem um número arbitrário de variáveis. No entanto, nessa situação não é possível visualizar a "forma geométrica" que corresponde às soluções da equação. O termo utilizado para descrever a forma geométrica correspondente ao conjunto solução de uma equação a $n$ variáveis é hiperplano afim, de dimensão $n$. Neste texto, no entanto, será usado simplesmente a terminologia $n$-plano.

Sistemas de equações lineares

Definição

Um sistema de equações lineares (ou sistema linear) é uma coleção de equações lineares envolvendo o mesmo conjunto de variáveis.

Um sistema geral de $m$ equações lineares com $n$ incógnitas (ou variáveis) pode ser escrito como

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{matrix}}\right.$

Aqui, $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ são as incógnitas, $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ são os coeficientes do sistema, e $b_{1},\ b_{2},...,b_{m}$ são os termos constantes.

A "chave" colocada à esquerda das equações é uma forma de lembrar que todas as equações devem ser consideradas em conjunto. A seguir são apresentados alguns exemplos de equações lineares.

Soluções de sistemas lineares

Definição

Uma solução de um sistema linear é uma $n$-upla de valores $s=(s_{1},s_{2},....,s_{n})$ que simultâneamente satisfazem todas as equações do sistema.

Cada equação de um sistema linear em três variáveis determina um plano. Uma solução do sistema corresponde a um ponto na interseção desses planos

A coleção de todas as possíveis soluções de um sistema linear será chamada de conjunto solução, sendo geralmente denotado por $S$. Uma fórmula que descreva todos os vetores do conjunto solução é chamada de solução geral. Dessa definição, decorre que o conjunto solução de um sistema linear é a interseção entre os conjuntos soluções de cada equação do sistema (veja a figura).

Um sistema linear é dito consistente se possui alguma solução. Caso contrário, é chamado de inconsistente.

Em geral, para qualquer sistema linear existem três possibilidades a respeito das soluções:

• Uma única solução: Neste caso, existe apenas uma solução específica (uma certa $n$-upla). O conjunto $S$ tem um único elemento. Geometricamente, isto implica que os $n$-planos determinados pelas equações do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do espaço, que é especificado pelas coordenadas da solução (as "entradas" da $n$-upla). O sistema é dito possível (existe alguma solução) e determinado (existe uma única solução);
• Nenhuma solução: Nesta situação, não existe qualquer $n$-upla de valores que verifiquem simultaneamente todas as equações do sistema. O conjunto $S$ é vazio. Geometricamente, os $n$-planos correspondentes as equações não se intersectam (são paralelos). O sistema é dito impossível (não existe solução).
• Infinitas soluções: As equações especificam $n$-planos cuja intersecção é um $m$-plano onde $m\leq n$. Sendo este o caso, é possível explicitar um conjunto $S$ com infinitas soluções. O sistema é dito possível (existe alguma solução) e indeterminado (sua quantidade é infinita)

As seguintes figuras ilustram os casos acima:

Uma única solução	Nenhuma solução	Infinitas soluções

Sistemas lineares equivalentes

Definição

Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Nos exemplos anteriores, pode-se notar que todos os sistemas possuem o mesmo conjunto solução (são equivalentes), embora no exemplo (V) a solução não esteja "tão evidente" como no caso de (I).

Isso sugere uma estratégia para resolver sistemas lineares: para determinar o conjunto solução de um sistema linear arbitrário (por exemplo (V)), basta encontrar um outro sistema linear que lhe seja equivalente, mas cuja solução seja imediata (como o (I), cuja solução é óbvia!).

Resta agora encontrar uma forma de produzir sistemas lineares equivalentes a um sistema dado, e que sejam simples (senão imediatos!) de resolver. As técnicas usadas para este fim serão apresentadas na próxima seção.

Operações com equações

Para um melhor entendimento das técnicas que podem ser utilizadas na resolução de sistemas lineares, serão sintetizadas no teorema a seguir as "operações" que podem ser feitas com as equações de um sistema, sem que seu conjunto solução seja alterado. Como será visto posteriormente, é possível determinar o conjunto solução de qualquer sistema linear (resolver o sistema), usando apenas três "operações elementares".

Teorema

Se um sistema linear é obtido a partir de outro, através de uma dessas operações

1. Trocar a posição de duas equações;
2. Trocar uma equação por um múltiplo (não nulo) de si mesma;
3. Trocar uma equação pela soma de si mesma com um múltiplo de outra equação;

então ele possui as mesmas soluções que o sistema original.

Demonstração

• Deixada a cargo do leitor. Sinta-se a vontade para acrescentá-la ao texto.

Métodos para a resolução de sistemas lineares

Eliminação de variáveis

Um método bastante simples para a resolução de um sistema linear é eliminar as variáveis, uma após a outra. Este método consiste dos seguintes passos:

1. Na primeira equação, isole uma das variáveis em função das outras.
2. Substitua a expressão acima em cada uma das outras equações. Isso produz um outro sistema de equações, com uma equação a menos e uma variável a menos.
3. Repita o passo anterior até que reste apenas uma equação linear.
4. Resolva esta equação e use a resposta obtida para determinar as demais variáveis nas outras equações.

Sabe-se que sistemas lineares em poucas variáveis também podem ser resolvidos usando outros métodos.

Observe, no entanto, que estas técnicas não são muito práticas ao lidar com sistemas grandes, onde exista um grande número de variáveis. Apesar disso, tais procedimentos podem ser generalizados, dando origem a algoritmos como a eliminação de Gauss e a eliminação de Gauss-Jordan, que pode ser usado em situações bem mais gerais.

O método da eliminação gaussiana será estudado em um capítulo posterior.

Muitas vezes é preciso resolver vários sistemas lineares que diferem apenas em seus termos constantes. Os coeficientes das incógnitas permanecem os mesmos. Uma técnica chamada de decomposição LU é usada nestes casos. Em situações muito particulares, ela adminte uma variante conhecida como fatoração de Cholesky. Tais técnicas serão estudadas nos últimos capítulos.

Exercícios

Este capítulo é apenas uma revisão. Não há exercícios.

Esta página foi eleita pelos colaboradores como uma das melhores do Wikilivros. Para mais informações, consulte a página de votações.