Álgebra linear/Matrizes

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Tabela de conteúdo

1 Introdução
2 Exemplos de matrizes
3 Tipos especiais de matrizes
4 Álgebra matricial
5 Notas

[editar] Introdução

O termo matriz pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da informática, como sendo uma estrutura de dados. Em matemática, no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.

Definição

Intuitivamente, uma matriz é uma lista de números, dispostos em linhas e colunas, ou seja, é um tipo de tabela.

Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:

Matriz

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4&10\\ 1&-3&-7\\ 3&0&0\\ 5&5&0 \end{pmatrix}$

A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.

Para saber mais...

A teoria de matrizes estudada neste módulo está intimamente ligada com a teoria de sistemas de equações lineares apresentada anteriormente. Os antigos chineses estabeleceram uma forma sistemática de resolver equações simultâneas. A teoria de equações simultâneas foi popularizada no oriente pelo matemático japonês Seki e, um pouco depois, por Leibniz, o maior rival de Newton. Posteriormente, Gauss, outro grande nome da matemática moderna, popularizou o uso de um algoritmo para a resolução de qualquer número de equações lineares simultâneas. Em sua homenagem, o processo passou a ser conhecido como eliminação gaussiana^[1].

Este é um exemplo de matriz 3 × 3:

$B = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{pmatrix}$

Esta matriz tem a forma 5 × 4:

$T = \begin{pmatrix} a&b&c&d\\ h&g&f&e\\ i&j&k&l\\ p&o&n&m\\ q&r&s&t\\ \end{pmatrix}$

Aqui, tem-se uma matriz 1 × 6:

$V = \begin{pmatrix} 2&3&5&7&11&13\\ \end{pmatrix}$

As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.

Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

Organização de uma matriz

[editar] Exemplos de matrizes

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

Nesse exemplo, o elemento $a 12$ é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento $a i j$ é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, $a i j = i + j,$ para $i$ de 1 a 3 e $j$ de 1 a 2, define a matriz 3×2 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}.$

Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:

$A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 23 \\ 3 & 4 & 5\\ 4 & 1 & 9\end{bmatrix}$

E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra $k .$

[editar] Tipos especiais de matrizes

Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual $m = n .$ Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
Uma Matriz Linha é toda aquela na qual $m = 1.$ Isto é, ela possui apenas uma linha.
Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual $n = 1.$ Isto é, ela possui apenas uma coluna.
Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual $m = n$ e cujo elemento $A i, j = 0$ se $i \neq j.$ Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual $m = n$ cujo elemento $A i, j = 0$ se $i \neq j$ e $A i, j = X .$ Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos $A i, j = 0.$ Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual $m = n$ cujos elementos $A i, j = 0$ se $i \neq 0$ e $A i, j = 1$ se $i = j .$ Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.

[editar] Álgebra matricial

[editar] Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.

Definição

Para multiplicar um número $k$ qualquer por uma matriz n×m $A,$ basta multiplicar cada entrada $a i j$ de $A$ por $k .$ Assim, a matriz resultante $B$ será também n×m e $b_{ij} = k \cdot a_{ij}.$

Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Exemplo

$2 \begin{bmatrix} 9 & 1 & -2 \\ 1 & -5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 9 & 2\times 1 & 2\times (-2) \\ 2\times 1 & 2\times (-5) & 2\times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 2 & -4 \\ 2 & -10 & 6 \end{bmatrix}$

É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.

A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:

Associativa em relação ao Escalar: $(k_1 \cdot k_2) \cdot A = k_1 \cdot (k_2 \cdot A)$
Distributiva em relação ao Escalar: $(k_1 + k_2) \cdot A = k_1 \cdot A + k_2 \cdot A$
Distributiva em relação à Matriz: $k_1 \cdot (A + B) = k_1 \cdot A + k_1 \cdot B$
Elemento Neutro: $1 \cdot A = A$

[editar] Adição de Matrizes

A adição de matrizes é outra operação bastante simples.

Definição

Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos $c i j = a i j + b i j .$

Exemplo

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 & 5 \\ 2 & 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 8+6 & -3+5 \\ 4+2 & -2+5 & 5+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 14 & 2 \\ 6 & 3 & 12 \end{bmatrix}$

Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.

A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:

Propriedade Associativa: $A + (B + C) = (A + B) + C$
Elemento Neutro: $A + 0 = 0 + A = 0$ ( $0$ é uma Matriz Nula, não um escalar)
Simétrico Aditivo: $- A + A = A - A = 0$
Comutatividade: $A + B = B + A$

[editar] Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.

Definição

Se $A$ é uma matriz $m \times n$ e $B$ é uma matriz $n \times p,$ então seu produto $A B$ é a matriz $m \times p$ (m linhas e p colunas) dada por:

$(AB)_{i,j} = A_{i,1} B_{1,j} + A_{i,2} B_{2,j} + \cdots + A_{i,n} B_{n,j} \!\$ para cada par

(i, j).

A motivação dessa definição é a seguinte: se $β i$ denota a $i$ -ésima linha da matriz $B,$ podemos criar outra matriz $C$ cujas linhas $\gamma_1, \ldots, \gamma_m$ sejam combinações lineares das linhas de $B :$

$\gamma_1 = A_{1,1} \beta_1 + A_{1,2} \beta_2 + \cdots + A_{1,n} \beta_n$

$\vdots$

$\gamma_m = A_{m,1} \beta_1 + A_{m,2} \beta_2 + \cdots + A_{m,n} \beta_n$

Em cada linha $γ i,$ a entrada na $j$ -ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de $B$ nessa mesma coluna:

$(\gamma_i)_j = A_{i,1} (\beta_1)_j + A_{i,2} (\beta_2)_j + \cdots + A_{i,n} (\beta_n)_j,$

mas $(β i) j$ corresponde a $B i, j .$ Então, se $A$ for a matriz com as entradas $A i, j$ definidas como acima, obtemos a fórmula acima.

Da mesma maneira, se $α j$ denota a $j$ -ésima coluna da matriz $A,$ podemos criar uma matriz $C$ cujas colunas $\gamma_1, \ldots, \gamma_p$ sejam combinações lineares das colunas de $A :$

$\gamma_j = B_{1,j} \alpha_1 + B_{2,j} \alpha_2 + \cdots + B_{n,j} \alpha_n$

E, tomando as entradas na $i$ -ésima linha, obtemos

$(\gamma_j)_i = B_{1,j} (\alpha_1)_i + B_{2,j} (\alpha_2)_i + \cdots + B_{n,j} (\alpha_n)_i$

Mas a $(α j) i,$ a $i$ -ésima entrada à linha $α j,$ corresponde ao elemento $A i, j,$ de modo que também obtemos a fórmula acima.

Portanto,

A matriz $A B$

tem como linhas combinações lineares das linhas de $B,$ cujos coeficientes são dados em cada linha de $A;$
tem como colunas combinações lineares das colunas de $A,$ com coeficientes dados em cada coluna de $B .$

Exemplo: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

[editar] Propriedades

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

Associativa:

$(A B) C = A (B C)$
Distributiva em relação à Adição:

$(A + B) C = A C + B C$
Elemento Neutro: se $A$ é uma matriz $m \times n,$ então

$I m A = A I n = A,$ onde $I n$ representa a matriz identidade de ordem $n .$

Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se $AB \neq BA.$ Em muitos dos casos, a multiplicação $B A$ pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação $A B,$ a multiplicação $B A$ só pode existir no caso em que $A$ e $B$ são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.

[editar] Transposição

Definição

A operação de transposição de uma matriz $A$ retorna como resultado sempre um matriz $B$ tal que, para todo elemento de $A$ e $B,$ $a i j = b j i .$ $B$ é então dita a matriz transposta de $A,$ denotada por $A t .$

Exemplo

$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se $A$ era $m \times n,$ $A t$ será $n \times m.$
Cada coluna de $A$ corresponderá a uma linha de $A t,$ e vice-versa.

[editar] Notas

↑ Para saber mais sobre o surgimento das matrizes, pode ser consultado este site.

[Site1-0] Para saber mais sobre o surgimento das matrizes, pode ser consultado este site.

[1]

Álgebra linear/Matrizes

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[editar] Introdução

[editar] Exemplos de matrizes

[editar] Tipos especiais de matrizes

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[editar] Multiplicação por um escalar

[editar] Adição de Matrizes

[editar] Multiplicação de Matrizes

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[editar] Transposição

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