Álgebra abstrata/Funções
Produto Cartesiano[editar | editar código-fonte]
Podemos associar dois conjuntos de forma que os seus elementos sejam independentes. Seja A,B conjuntos tais que seus elementos não estejam relacionados, assim:
Aplicação (Funções)[editar | editar código-fonte]
Uma função associa elementos de dois conjuntos através de uma regra. Assim temos A,B conjuntos e f associando A e B através de uma regra e escrevemos .
- (função) f é uma aplicação
- (unicidade)
Funções iguais[editar | editar código-fonte]
Duas funções f,g são iguais se, e somente se,
Transformação[editar | editar código-fonte]
Uma transformação é uma aplicação onde D=CD. é uma transformação de S sobre S.
Aplicação Identidade[editar | editar código-fonte]
Uma aplicação Identidade leva um elemento ao mesmo elemento. Seja
Contra-domínio[editar | editar código-fonte]
O conjunto B é chamado de contra-domínio porque é o conjunto onde f aplicado em A vai procurar estabelecer sua regra.
Imagem[editar | editar código-fonte]
O conjunto é chamado de conjunto imagem porque é o conjunto de todos os elementos de B que são alcançados pela regra de f aplicado em A.
Restrição\Extensão[editar | editar código-fonte]
Seja .
Uma aplicação é chamada restrição f para C, e escrevemos .
Uma restrição f|C é uma restrição do domínio, e
A aplicação f é uma extensão da aplicação f|C
Sobrejetora [editar | editar código-fonte]
Uma aplicação é sobrejetora, se
Injetora[editar | editar código-fonte]
A aplicação é injetora se elementos distintos de A(domínio) tem imagens distintas em B, isto é, se
Gráfico de uma função[editar | editar código-fonte]
Seja uma função. O gráfico de f é dado por
Composição de funções[editar | editar código-fonte]
Seja .
- As aplicações são chamadas de aplicações compostas
- A aplicação é interessante pela sua forma associativa
- Se f e g são sobrejetora, então também o é
- Se f e g são injetora, então também o é
Bijetora[editar | editar código-fonte]
Se f é sobrejetora e injetora, então ela é chamada bijetora.
De uma maneira mais rigorosa, é bijetiva se, e somente se, existe tal que
Aplicação Inversa[editar | editar código-fonte]
Função inversa de é uma função com gráfico (f(x),x), onde é o mesmo gráfico de f(x), rotacionado em torno da reta y=x. Dizemos que é a função inversa de f.
Seja . Assim ; Façamos:
- i)
- ii)
Imagem Inversa[editar | editar código-fonte]
Suponha , seja uma relação de equivalência envolvendo a imagem, de forma que, a R b se, e comente se, f(a) = f(b). Assim se nós temos
- Seja . De fato,