Utilizador:9anoEFII-Caderno2

PREFÁCIO

Este Caderno está sendo desenvolvido por alunos do 9° ano do EFII e está organizado em 11 tópicos. Destina-se a todos que nesta idade escolar buscam conhecimentos matemáticos do jeito que cada aluno registra sua maneira pessoal para resolver.

SUMÁRIO

Caderno 2:

Módulo 11. Semelhança .............................................................

Módulo 12. Histograma e polígono de frequência ....................................

Módulo 13. Operações com radicais .................................................

Módulo 14. Ainda as operações com radicais.........................................

Módulo 15. Aplicações do teorema de Pitágoras .....................................

Módulo 16. Trinômio quadrado perfeito e fatoração: aplicação para a resolução de equações do 2o grau...

Módulo 17. Resolução da equação completa do 2o grau com uma incógnita .............

Módulo 18. Resolução de problemas e investigação matemática....................

Caderno 3:

Módulo 19. Relações métricas em um triangulo retângulo..............................................

Módulo 20. Estudo da circunferência..................................

Módulo 21. Matemática financeira............................................

Módulo 22. Proporcionalidade..........................................

Módulo 23.Propriedades das raízes da equação de 2° grau.................................

Módulo 24. Sistemas de equações.................................

Módulo 25. Novas relações no triangulo retângulo............................

Módulo 26. Razoes trigonometrias dos ângulos notáveis.......................................

Módulo 27. dependência entre grandezas......................................

Módulo 28. Resoluções de problemas e investigações matemáticas....................................

CADERNO 2

Módulo 13. Operações com radicais

13.1 Conceitos básicos dos radicais

${\sqrt[{i}]{a^{x}}}$ $\Rightarrow$ i = índice

$\Rightarrow$ a = radicando

$\Rightarrow$ x = expoente do radicando

${\sqrt[{i}]{a^{x}}}=a^{\frac {x}{i}}$

13.2 Simplificação de radicais

1º caso: Simplificação de radicais por expoente fracionário.

*Este caso é usado quando o índice for maior que o expoente de um radicando*

Utilizaremos o seguinte exemplo: ${\sqrt[{16}]{2^{2}}}$

Passo 1: Transforme a raiz em um número com expoente fracionário.

${\sqrt[{16}]{2^{2}}}=2^{\frac {2}{16}}$

Passo 2: Simplifique as frações do expoente.

$2^{\frac {2}{16}}=2^{\frac {1}{8}}$

Passo 3: Represente o número obtido na forma de radical.

${\sqrt[{8}]{2}}$

2º caso: Simplificação de radicais por eliminação de raízes.

*Este caso é utilizado quando o expoente do radicando for maior que o índice.*

Utilizaremos o seguinte exemplo: ${\sqrt[{3}]{78125}}$

Passo 1: Se o radicando não for um número primo, fatore-o.

${\sqrt[{3}]{5^{7}}}$

Passo 2: Separe o expoente do radicando de modo que ele fique, o máximo de vezes possível, de acordo com o índice.

${\sqrt[{3}]{5^{7}}}={\sqrt[{3}]{5^{3}\cdot 5^{3}\cdot 5^{1}}}$

Passo 3: Termine de resolver corretamente a expressão e simplifique quando possível.

${\sqrt[{3}]{5^{7}}}={\sqrt[{3}]{5^{3}\cdot 5^{3}\cdot 5^{1}}}$

${\sqrt[{3}]{5^{3}\cdot 5^{3}\cdot 5^{1}}}$ $=5\cdot 5\cdot {\sqrt[{3}]{5}}$

$5\cdot 5\cdot {\sqrt[{3}]{5}}=25{\sqrt[{3}]{5}}$

$25{\sqrt[{3}]{5}}$

Módulo 14. Ainda as operações com radicais

14.1 Adição e subtração de radicais

Utilizaremos o seguinte exemplo: $3\surd 5+4\surd 5$

Passo 1: Deve-se identificar o fator comum, e isolar os fatores restantes com parenteses.

$3\surd 5+4\surd 5=(3+4)\surd 5$

Passo 2: Resolver o parenteses.

$(3+4)\surd 5=7\surd 5$

Passo 3: Dessa forma...

$3\surd 5+4\surd 5=7\surd 5$

Resultado = $7\surd 5$

*Se o radicando não for um número primo, fatore-o.*

Ex.:

$\surd 50+\surd 18-\surd 32$

$5\surd 2+3\surd 2-4\surd 2$

$(5+3-4){\sqrt {2}}$

$4{\sqrt {2}}$

14.2 Racionalizar os denominadores

Racionalizar significa eliminar o radical. Nesse caso, o objetivo é eliminar o radical do denominador das frações para uma melhor resolução das mesmas.

Utilizaremos o seguinte exemplo: $\left({\frac {9}{2\surd 3}}\right)$

Passo 1: Multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número que elimine o radical.

${\frac {9}{2\surd 3}}\cdot {\frac {\surd 3}{\surd 3}}$

Passo 2: Terminar de resolver a expressão e simplificar quando possível.

${\frac {9}{2\surd 3}}\cdot {\frac {\surd 3}{\surd 3}}$

${\frac {9\surd 3}{2\cdot 3}}$

${\frac {9\surd 3}{6}}={\frac {3\surd 3}{2}}$

${\frac {3\surd 3}{2}}$

Módulo 15. Aplicações do teorema de Pitágoras / autor : Angel Marcos O. Lima

o teorema de Pitágoras utilizamos ele em triângulos retângulos, com ele podemos calcular área, altura e o tamanho dos lados desse retângulos( diagonais ).

Os triângulos retângulos tem seus lados nomeados.Dois dos seus lados são chamados de catetos e o outro que é o maior dos 3 lados é chamado de hipotenusa.

A fórmula que utilizamos é essa :

a² = b² + c²

Nós utilizamos a² como representante da hipotenusa, b² e c² como representante dos catetos.

MODO DE RESOLVER:

1° passo : Analisar o triangulo

2° passo : Nomear os lados do triângulo ( a,b,c )

3° passo : Escrever a fórmula

a² = b² + c²

4° passo : Substituir os valores dado no triângulo pelas letras correspondentes.

Exemplo:

a² = b² + c²

a²= 3² + 4²

5° passo : Resolver as potências

a² = 9 + 16

6° passo : Efetuar a adição

a² = 25

7° passo : Passar o indice do ´a` para o outro lado do sinal = em sua forma oposta

a=√25

8° passo : Resolver a raiz quadrada

a= 5

-----------------------------------------------------------------

Para descobrir a diagonal de um quadrado

1° passo : Escrever a fórmula

a²=b²+c²

2° passo : Substituir as letras ( d = diagonal; l= lado )

d² = l² + l²

3° passo : Efetuar a adição

d² = 2l²

4° passo : Passar o índice do ´d` de forma oposta

d = √2l²

5° passo : Cortar o índice da raiz com o índice da letra ´l` tirando ela de dentro da raiz

d = l√2

6° passo : Substituir ´l` pelo valor do lado

Exemplo:

Um quadrado com o lado 5 sua diagonal vai ser d = 5√2

Vídeo aula da matéria :

https://m.youtube.com/watch?v=WNsgLfa7uN0

Módulo 16. Trinômio quadrado perfeito e fatoração: aplicação para a resolução de equações do 2o grau

16.1 Fatoração de expressões algébricas

1º caso: fator comum

Utilizaremos o seguinte exemplo para este caso: 12bx + 8x + 6by + 4y

Passo 1: Deve-se fatorar toda a expressão.

2.2.3.b.x + 2.2.2.x + 2.3.b.y + 2.2.y

Passo 2: Divida a expressão em dois blocos e identifique os termos comuns.

(2.2.3.b.x + 2.2.2.x) + (2.3.b.y + 2.2.y)

Passo 3: Separe os fatores comuns e multiplique-os pelo resto da expressão em cada bloco.

(2.2.3.b.x + 2.2.2.x) + (2.3.b.y + 2.2.y)

2.2.x (3b + 2) + 2.y (3b + 2)

4x (3b +2) + 2y (3b + 2)

Passo 4: Simplifique a expressão de acordo com seus termos comuns utilizando a técnica de agrupamento.

4x (3b +2) + 2y (3b + 2)

(3b + 2) + (4x + 2y)

Passo 4: Dessa forma...

12bx + 8x + 6by + 4y = (3b + 2) + (4x + 2y)

2º caso: Fatoração

Utilizaremos o seguinte exemplo para este caso: (x - 8) . (x - 8) = 0

Passo 1: Iremos imaginar que x menos o numero 8 vezes ele mesmo tenque ser igual a ele mesmo

(x - 8) . (x - 8) = 0

ou

(x - 8)² = 0

Passo 2: Iremos usar como se fosse equação de primeiro grau:

(x - 8) . (x - 8) = 0

x - 8 = 0 dividido por x - 8

Passo 3: Vale lembrar que zero dividido por qualquer numero é zero então:

x - 8 = 0

Passo 4: Agora iremos passar o numero 8 da direita pra esquerda sabendo que como esta negativo passara positivo:

x=8

Então chegaremos ao resultado vamos agora substituir o x por 8 e vermos se esta certo:

(8 - 8) . (8 - 8) = 0

0 . 0 =0

0 = 0

Pronto resolvemos uma equação de segundo grau por meio da Fatoração

16.2 Resolução de alguns casos de equações do 2º grau

1º caso: Equação do tipo $ax^{2}=b$ , com "a" e "b" sendo diferentes de zero.

Utilizaremos o seguinte exemplo para este caso: $4x^{2}=9$

Passo 1: Deve-se desenvolver a expressão.

$4x^{2}=9$

${\frac {4x^{2}}{4}}={\frac {9}{4}}$

$x^{2}={\frac {9}{4}}$

${\sqrt {x^{2}}}=\pm {\sqrt {\frac {9}{4}}}$

$x=\pm {\frac {3}{2}}$

Passo 2: Deve-se colocar a solução.

*Sempre haverá duas soluções: uma negativa e uma positiva.*

$S={\Bigl (}{\frac {3}{2}};-{\frac {3}{2}}{\Bigr )}$

*Nesses casos, em algumas situações b pode ser igual a zero ( $ax^{2}=0$ ), por exemplo:

$4x^{2}=0$

${\frac {4x^{2}}{4}}={\frac {0}{4}}$

$x^{2}=0$

$x={\sqrt {0}}$

$x=0$

$S=\{0\}$

2º caso: Equação do tipo $ax^{2}\pm bx\pm c=0$ , com "a", "b" e "c" sendo diferentes de zero.

Utilizaremos o seguinte exemplo para esta caso: $x^{2}-10x+25=0$

Passo 1: Deve-se fatorar a equação para podermos resolvê-la melhor.

$x^{2}-10x+25=0$

${\sqrt {x^{2}}}=x$ ; ${\sqrt {25}}=5$

$(x-5)^{2}=0$

Passo 2: Resolva a equação.

$(x-5)^{2}=0$

$x-5={\frac {0}{x-5}}$

$x-5=0$

$x=(-5)$

Passo 3: Deve-se colocar a solução.

*Nesse caso a equação possuiu uma única solução.*

$S=\{-5\}$

Módulo 17. Resolução da equação completa do 2o grau com uma incógnita

17.1 Completando o trinômio quadrado perfeito

Usaremos o seguinte exemplo: $x^{2}+10x-24=0$

Passo 1: Deve-se passar o termo independente para o outro lado da equação.

$x^{2}+10x-24=0$

$x^{2}+10x=24$

Passo 2: Fatore o primeiro membro da equação representando-o geometricamente, sem considerar o segundo membro.

Passo 3: A área da parte ausente é de 25 (no exemplo). Deve-se adicionar esse valor aos dois membros da equação. Assim, a equação se transformará em um trinômio quadrado perfeito.

$x^{2}+10x=24$

$x^{2}+10x+25=24+25$

$x^{2}+10x+25=49$

Passo 4: Continue o desenvolvimento para encontrar a solução.

$x^{2}+10x+25=49$

$(x+5)^{2}=49$

$x+5=\pm {\sqrt {49}}$

$x+5=\pm 7$

$x+5=7$

$x=7-5$

$x=2$

ou

$x+5=\pm 7$

$x+5=-7$

$x=-7+5$

$x=-12$

Passo 5: Encontre a solução.

$S=\{-12;2\}$

17.2 Resolução de uma equação de 2º grau pela fórmula de Bhaskara.

$ax^{2}+bx^{2}+c=0$

a = coeficiente da incógnita ao quadrado

b = coeficiente da incógnita ou raiz

c = termo independente

Equação completa do 2º grau = possui os três coeficientes diferentes de zero.

Equação imcompleta do 2º grau = possui os coeficientes "b" e/ou "c" iguais a zero.

OBS: "a" não pode ser igual a zero.

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$\Downarrow$

Deve-se substituir os coeficientes da equação de Bhaskara pelos da equação dada. Por exemplo:

$ax^{2}+bx^{2}+c=0$

$3x^{2}-7x+2=0$ $\Rightarrow$ a = 3/b = (-7)/c = 2

$x={\frac {-(-7)\pm {\sqrt {(-7)^{2}-4\cdot 3\cdot 2}}}{2\cdot 3}}$

$x={\frac {7\pm {\sqrt {49-24}}}{6}}$

$x={\frac {7\pm {\sqrt {25}}}{6}}$

$x={\frac {7\pm 5}{6}}$

$x={\frac {7+5}{6}}$

$x={\frac {12}{6}}=2$

ou

$x={\frac {7\pm 5}{6}}$

$x={\frac {7-5}{6}}$

$x={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$

$S=\{{\frac {1}{3}};2\}$

Módulo 18. Resolução de problemas e investigação matemática (Angel Marcos)

Nesse módulo exploramos o pentagrama,é muito comum encontrar um pentagrama na natureza como uma estrela do mar e algumas flores tem seu formato.

Ele é composto por pentágonos (soma de todos os ângulos é igual a 540°) e triângulos (soma dos ângulos é igual a 180°) isósceles.

Nesse módulo aprendemos a calcular os ângulos internos pertencentes a figura e analisamos se a congruência nos triângulos, percebemos que se unirmos os vértices do pentágono formamos outra estrela menor com um pentágono dentro e assim sera ate que tenha jeito de desenhar, como se fosse um desenho q não teria fim.

Vídeo-aula da matéria:

https://www.youtube.com/watch?v=jRGYQj1-sdU

https://www.youtube.com/watch?v=XqzOtiPTJQs

https://www.youtube.com/watch?v=1LYMFsmNUpY

https://www.youtube.com/watch?v=JPlOZ8FOXgM

CADERNO 3

Módulo 19. Relações métricas em um triangulo retângulo

19.1 Projeção ortogonal

A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

Para obter a projeção ortogonal de uma figura geométrica qualquer sobre uma reta, basta projetar ortogonalmente todos os seus pontos para essa reta.

19.2 Triângulos semelhantes em um triangulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos:

O lado que for oposto ao ângulo reto será chamado de hipotenusa e os outros dois lados serão chamados de cateto.

Triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, hip² = c² + c².

Relações métricas do triângulo retângulo:

Observando um triângulo retângulo, podemos retirar algumas relações feitas com os seus elementos.

1º) c² = m . a e b² = n . a

2º) b . c = a . h

3º) h² = m . n

4º) a quarta relação é baseada na 1º e na 2º, pois se somarmos as duas chegaremos em uma outra relação.

c² + b² = m . a + n . a → colocando a em evidência.

c² + b² = a (m + n) → observando no triângulo retângulo percebemos que a medida de a = m + n.

c² + b² = a . a

c² + b² = a² → conhecida como Teorema de Pitágoras.

5º) é uma relação dos ângulos internos do triângulo retângulo. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo retângulo é igual a 180º, no caso do triângulo retângulo que um dos ângulos sempre terá medida igual a 90º os outros dois serão complementares, ou seja, a sua soma será 90º. Matematicamente dizemos que:

med ( ) + med ( ) = 90º.

Vídeo -aula da matéria :

https://m.youtube.com/watch?v=VaT2vPh5JuIhttps

https://m.youtube.com/watch?v=RiE-rH6I-mU

https://m.youtube.com/watch?v=PLZXQ6B0C0U

Módulo 20: Estudo da circunferência

20.1 Conceitos básicos: ângulo central e ângulo inscrito

Ângulo central $\Rightarrow$ seu vértice é o centro da circunferência (normalmente denominado O) e seus lados são as raios da mesma (tendo, portanto, a mesma medida).

Ângulo inscrito $\Rightarrow$ seu vértice pertence a circunferência e seus lados são secantes a ela.

$\alpha$ = m(ângulo inscrito)

$\beta$ = m(ângulo central)

Dessa forma....

$\beta =2\alpha$ $\Rightarrow$ $\alpha ={\frac {\beta }{2}}$

Exemplo: se a medida do ângulo inscrito ( $\alpha$ ) for 80º:

$\alpha =80^{\circ }$

$\beta =2\alpha$

$\beta =2\cdot 80^{\circ }$

$\beta =160^{\circ }$

Vídeo-aula da matéria: https://www.youtube.com/watch?v=kwqEq3Et_ro

https://www.youtube.com/watch?v=XRpyHrsCyHU

https://www.youtube.com/watch?v=Q5E6MHXyw6o

Módulo 22: Proporcionalidade

22.1 O que são grandezas inversamente e diretamente proporcionais?

Grandezas diretamente proporcionais $\Rightarrow$ duas grandezas são classificadas como diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão que a primeira.

Grandezas inversamente proporcionais $\Rightarrow$ duas grandezas são classificadas como inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui.

$\Rrightarrow$ Quando as grandezas são diretamente proporcionais deve-se multiplicá-las em X. Por exemplo: se um salgado custa dois reais, quantos reais custarão cinco salgados?

${\frac {1}{5}}={\frac {2,00}{x}}$

$1\cdot x=5\cdot 2$

$x=10$ $\Rightarrow$ obtendo o resultado, que seria 10 reais.

$\Rrightarrow$ Quando as grandezas são inversamente proporcionais deve-se fazer a multiplicação direta, em linha reta. Por exemplo: se um carro andando a 30 km/h gasta 12 horas para atravessar determinado percurso, em quanto tempo um carro andando a 60 km/h gastará para atravessar este mesmo percurso?

${\frac {30}{60}}={\frac {12}{x}}$

$30\cdot 12=60\cdot x$

$60x=360$

$x=6$ $\Rightarrow$ obtendo o resultado, que seria 6 horas.

22.2 Regra de três composta

$\Rightarrow$ Ela é usada quando estamos analisando três ou mais grandezas diferentes.

Para entender a regra de três composta, iremos usar o seguinte problema como exemplo:

Para fabricar 20 camisas, 8 máquinas gastaram 4 horas. Quantas horas 4 máquinas gastarão para produzir 15 camisas?

Passo 1: Anote as informações do problema em forma de tabela.

Camisas	Máquinas	Horas
20	8	4
15	4	x

Passo 2: Interprete cada uma das grandezas separadamente comparando-as com a grandeza onde está o X. Analise e perceba se elas são diretamente ou inversamente proporcionais em relação a grandeza X. Se alguma grandeza for inversamente proporcionais, os valores da mesma devem ser invertidos para que fiquem diretamente proporcionais, modificando a tabela. Lembre-se de analisar cada grandeza separadamente, comparando-a apenas com a grandeza que contém o X e ignorando as outras.

(Nesse exemplo a grandeza "máquinas" é inversamente proporcional a grandeza "horas", que contém o X. Por isso devemos invertê-la na tabela, deixando-a diretamente proporcional):

Camisas	Máquinas	Horas
20	4	4
15	8	x

Passo 3: Agora deve-se fazer uma equação. Os valores que estão na mesma linha e coluna que o X (lembre-se de sempre colocar a grandeza em que o x está na linha inferior da tabela e na coluna mais à esquerda ou mais à direita) devem ser multiplicadas. O resultado deve ser dividido pelo produto dos outros valores. O resultado dessa divisão será o valor de X.

Nesse exemplo a equação será:

$x={\frac {15\cdot 8\cdot 4}{20\cdot 4}}$

$x={\frac {480}{80}}$

$x=6$ $\Rightarrow$ obtendo o resultado, que seria 6 horas.

Módulo 24. Sistemas de equações

24.1 Método da substituição

$\Rightarrow$ Para resolver um problema com duas incógnitas através do método da substituição, prosseguimos da seguinte forma:

Para entender a resolução, utilizaremos o seguinte exemplo:

A soma de dois números é 27 e o produto entre esses mesmos números é 180. Quias são esses números?

Passo 1: Montamos um sistema de equações baseado nas informações do problema.

$\left\{{\frac {x+y=27}{x\cdot y=180}}\right\}$

Passo 2: Selecione uma das equações e isole uma das incógnitas.

$x+y=27$

$x=27-y$

Passo 3: Substitua, na segunda equação, o valor da incógnita isolada pelo valor obtido anteriormente, deixando a equação com apenas uma incógnita.

$x\cdot y=180$

$(27-y)\cdot y=180$

Passo 4: Com a substituição feita, resolva a equação montada.

$y^{2}-27y+180=0$

$y={\frac {-(-27)\pm {\sqrt {(-27)^{2}-4\cdot 1\cdot 180}}}{2\cdot 1}}$

$y={\frac {27\pm {\sqrt {9}}}{2}}$

$y={\frac {27\pm 3}{2}}$

$y_{1}=15$

$y_{2}=12$

Passo 5: Determinado o valor de uma incógnita, determine o valor da outra.

$x_{1}=27-y_{1}$

$x_{1}=27-15$

$x_{1}=12$

ou

$x_{2}=27-y_{2}$

$x_{2}=27-12$

$x_{2}=15$

Passo 6: Baseado nas soluções das duas incógnitas, determine a solução do problema.

$S=\{(x_{1};y_{1});(x_{2};y_{2})\}$

$S=\{(12;15);(15;12)\}$

Módulo 26: Razões trigonométricas dos ângulos notáveis.

26.1 Razões trigonométricas

Podemos calcular razões trigonométricas de 3 ângulos (30°,45° e 60°) sem usarmos a tabela com os valores obtidos de 1° a 89°

(que são decimais,ou seja,não temos certeza),para isso usaremos propriedades geométricas.

*O quadrado e o ângulo de 45°:

a²=b²+c² sen = CO/Hip = l/l√2 * √2/√2 = √2/√2

a²=l²+l²

a²=2l² cos = CA/Hip = l/l√2 * √2/√2 = √2/√2

a=√2l²

a=l√2 tg = CO/CA = l/l = 1

a=diagonal

*O triângulo equilátero e os ângulos de 30° e 60°:

*60°:

a²=b²+c² sen=CO/Hip=l√3 l√3/2 / l/1 = l/√3/2 * 1/l = √3/2

l²=l²/2 + h²

l²=l²/4 + h² cos = CA/Hip = l/2 / l = l/2 *1/l = 1/2

l²/1 * 4/4 - l²/4 * 1/1 = h²

4l²-1l²/4=h² tg= CO/CA = l√3/2 / l/2 = l√3/2 * 2/l = √3

3l²/4=h²

l√3/2= h

*30°:

sen = CO/Hip = l/2 / l =l/2 * 1/l = 1/2

cos = CA/Hip = l√3/2 * 1/l =√3/2

tg= CO/CA =l/2 / l√3/2 = l/2 * 2/l√3 = √3/3

Módulo 27: Dependência entre grandezas

No Cálculo, uma função é uma relação entre termos, como x e y, em que o valor de y depende do valor de x; portanto, x é a variável independente e y a variável dependente (de x)

Exemplo:

Na função, y = 2x, o valor de y depende do valor que x tiver. Se x = 2, y = 4; se x = 9, y = 18. Na Matemática, o conceito de função é inteiramente ligado às questões de dependência entre duas grandezas variáveis. Toda função possui uma lei de formação algébrica que relaciona dois ou mais conjuntos através de cálculos matemáticos. Dizemos que para toda função temos um conjunto denominado domínio e sua respectiva imagem.

Por exemplo, podemos estabelecer uma relação de dependência entre o preço do litro do combustível e a quantidade de litros usados no abastecimento de um carro. Suponhamos que o preço do litro de gasolina seja R$ 2,50, dessa forma, podemos determinar a seguinte função

y = 2,5 * x, que determina o preço a pagar y em decorrência da quantidade de litros abastecidos x.

Módulo 30: Equações redutíveis a equações de 2º grau

30.1 Número áureo

Retângulo áureo $\Rightarrow$ Se dele tirarmos o maior quadrado possível apoiado em um dos lados, o retângulo restante será semelhante ao inicial. Se procedermos da mesma forma com o retângulo obtido, o próximo retângulo a ser formado será semelhante ao anterior, e assim sucessivamente.

Pegando um retângulo áureo como exemplo, chamaremos o lado do quadrado interno de a e o lado do retângulo interno de b. Sendo que, dessa forma, as dimensões do retângulo interior sejam $\{a;b\}$ e as dimensões do retângulo áureo sejam $\{a;{\bigl (}a+b{\bigr )}\}$ .

Se os retângulos são semelhantes:

$K={\frac {l.maior}{l.menor}}$ $\Rightarrow$ ${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

Se chamarmos o resultado da proporção de x, teremos:

${\frac {a}{b}}=x\Rightarrow a=bx$

Portanto, podemos substituir a por bx na primeira equação:

${\frac {bx+b}{bx}}={\frac {bx}{b}}$

Podemos, portanto, reduzir essa equação, transformando-a em uma equação de 2º grau:

${\frac {bx+b}{bx}}={\frac {bx}{b}}$

${\frac {b(x+1)}{bx}}={\frac {bx}{b}}$

${\frac {x+1}{x}}=x$

$x^{2}=x+1$

$x^{2}-x-1=0$ $\Rightarrow$ transformou-se em equação de 2º grau

À partir dessa equação podemos usar a Fórmula de Bhaskara para encontrar o valor da incógnita:

$x^{2}-x-1=0$

$x={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}}{2\cdot 1}}$

$x={\frac {1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}$

$x={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$

$x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Se resolvermos na calculadora o resultado será um número irracional, para obter o valor exato deixamos em forma de raiz, ou seja, sem deixar um número aproximado como resultado.

Pela razão ser um número irracional, o chamamos de número áureo, indicado por $\Phi$ .

30.2 Equações Literais

Equação Literal $\Rightarrow$ são equações de 2º grau com duas ou mais incógnitas.

Deve-se resolvê-las da mesma forma que resolvemos uma equação de 2° grau comum, podendo utilizar a fórmula de Bhaskara, fatoração e etc.

Fatoração

Utilizaremos como exemplo a seguinte equação literal: $a^{2}x=b+bax$

$a^{2}x=b+bax$

$a^{2}x-bax=b$

$x(a^{2}-ba)=b$

$x={\frac {b}{a^{2}-ba}}$

$x={\frac {b}{a(a-b)}}$

$S=\left\{{\frac {b}{a(a-b)}}\right\}$

Fórmula de Bhaskara

Utilizaremos como exemplo a seguinte equação literal: $x^{2}+ax-2a^{2}=0$

$x^{2}+ax-2a^{2}=0$ $\Rightarrow$ ${\bigl (}a=1/b=a/c=-2a^{2})$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$\Downarrow$

$x={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4\cdot 1\cdot (-2a^{2})}}}{2\cdot 1}}$

$x={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}+8a^{2}}}}{2}}$

$x={\frac {-a\pm {\sqrt {9a^{2}}}}{2}}$

$x={\frac {-a\pm {3a}}{2}}$

$x_{1}={\frac {-a+3a}{2}}={\frac {2a}{2}}=a$

$x_{2}={\frac {-a-3a}{2}}={\frac {-4a}{2}}=-2a$

$S=\{a;(-2a)\}$

30.3 Equações Irracionais

Equações irracionais $\Rightarrow$ são equações que possuem a incógnita no radicando.

Para explicar sua resolução, utilizaremos o seguinte exemplo: ${\sqrt {x}}=x-6$

Passo 1: Deve-se elevar os dois termos da igualdade ao quadrado para que a raiz possa ser eliminada.

${\sqrt {x}}=x-6$

$({\sqrt {x}}^{2})=(x-6)^{2}$

$x=(x-6)(x-6)$

Passo 2: Resolva os parenteses, transformando a equação irracional em uma equação de 2° grau.

$x=(x-6)(x-6)$

$x=x^{2}-12x+36$

$x^{2}-13x+36=0$

Passo 3: Agora desenvolva a equação, obtendo o valor de x.

$x={\frac {-(-13)\pm {\sqrt {(-13)^{2}-4\cdot 1\cdot 36}}}{2\cdot 1}}$

$x={\frac {13\pm {\sqrt {169-144}}}{2}}$

$x={\frac {13\pm {\sqrt {25}}}{2}}$

$x={\frac {13\pm 5}{2}}$

$x_{1}={\frac {13+5}{2}}={\frac {18}{2}}=9$

$x_{2}={\frac {13-5}{2}}={\frac {8}{2}}=4$

Passo 4: Porém, somente um valor encontrado na resolução da equação de 2º grau corresponde ao valor da equação irracional. Portanto, é necessário realizar a verificação da validade das raízes encontradas.

${\sqrt {x}}=x-6$