Métodos numéricos/Sistemas de equações lineares

Métodos directos

Condensação de Gauss

Método de Gauss

       Consiste essencialmente em transformar por etapas sucessivas a matriz original do sistema numa matriz triangular superior. Após obtenção da matriz transformada (matriz triangular superior) o sistema pode ser resolvido por substituição ascendente.

        Algoritmo de eliminação de Gauss

        Este é um método geral de resolver sistemas de equações lineares e consiste numa sequência de passos “elementares” que transformam o sistema dado num sistema muito fácil de resolver.

        Um passo elementar do método de eliminação de Gauss consiste na “adição membro a membro a uma equação de um múltiplo de outra”, de forma que na equação obtida, seja nulo o coeficiente de certa incógnita. Diz-se que se eliminou essa incógnita da equação.

        Os passos elementares são conduzidos de maneira a eliminar a incógnita x1 de todas as equações a partir da 2ª, depois eliminar a incógnita x2 de todas as equações a partir da 3ª, etc ...

        Deste processo resulta um novo sistema, digamos Ux = c equivalente ao sistema original, e cuja matriz U é uma matriz em escada.

        Com a obtenção de uma matriz em escada U termina a parte descendente do método de eliminação de Gauss. Neste momento verifica-se se o sistema obtido, Ux = c é possível, isto é , se não há equações com o primeiro membro nulo e o segundo não nulo.

        Se o sistema for possível resolve-se de “baixo para cima” (parte “ascendente” do algoritmo) obtendo se necessário algumas incógnitas em função das outras.

         Factorização LU 

        O processo de condensação de Gauss (que consiste numa sequência de operações elementares sobre as linhas das matrizes A(k), as quais podem ser expressas sob a forma de pré-multiplicações  desta matriz por matrizes triangulares elementares) conduz a uma expressão em que a matriz A surge sob a forma do produto de uma matriz L triangular inferior de diagonal unitária e de uma matriz U triangular superior – factorização triangular ou factorização LU da matriz A.

        A determinação da solução x, tendo determinado LU consiste na solução em solução de dois sistemas triangulares, sendo um inferior e outro superior..

        A factorização envolve apenas a matriz A e não o segundo membro b, intervindo este exclusivamente na fase de solução dos sistemas triangulares.

        Assim sendo, uma vez factorizada a matriz A, podemos resolver com esta matriz tantos sistemas de equações quantos quisermos, apenas à custa de substituições (ascendentes e descendentes). Isto revela uma vantagem sobre o método de eliminação de Gauss.

Pesquisa de Pivot

Métodos Iterativos

        Os métodos iterativos distinguem-se dos métodos directos pelo facto de necessitarem de um número infinito de operações aritméticas para obter a solução.

        Como na realidade isto não é possível, os métodos iterativos estão condenados a terem de ser interrompidos, o que implica que poderão fornecer apenas uma solução aproximada para o sistema. No entanto os métodos iterativos são valiosos porque podem produzir boas aproximações com relativamente poucas iterações. Também é relevante o facto de a matriz A nunca ser alterada durante o processo iterativo (ao contrário do que acontece com os métodos directos).

        Assim sendo tira-se partido desta estrutura para economizar memória e tempo de cálculo.

      Método de Jacobi

        O método de Jacobi consiste em escolher ma matriz M a diagonal de A, ou seja M = D = diag A  e N = D - A =  - (L + U) em que L e U designam matrizes estritamente triangulares inferior e superior respectivamente (nota: é importante não confundir estas matrizes com as matrizes L e U da factorização triangular).

        Nesta decomposição supomos que D é uma matriz invertível, o que implica que os seus elementos diagonais sejam todos diferentes de zero. Se tal não acontecer, é possível colocar na diagonal elementos diferentes de zero por permutação de linhas e/ou colunas (designando-se a matriz resultante destas trocas por A.

          A matriz de iteração do método de Jacobi é dada por GJ = I – D-1 (L+U).

        É relativamente fácil nos métodos iterativos tirar partido da espansidade da matriz A

        Neste método utilizam-se os valore xi(k) da iteração anterior para obter os valores xi(k+1) da iteração seguinte.

           Método de Gauss-Seidel 

         Como foi anteriormente referido, no método de Jacobi são utilizados os valores xi(k) da iteração precedente para obter os valores xi(k+1) da iteração seguinte. No entanto, no momento em que se calcula xi(k+1) já são conhecidos valores “mais actuais” para x1(k+1),..., xi-1(k+1).

         O método de Gauss-Seidel adopta imediatamente estes valores, ou seja, logo a partir do momento em que é obtido um valor mais actualizado de uma incógnita xi, este é usado sem ser necessário esperar pela actualização dos outros valores.

         No método de Gauss-Seidel a matriz M, conforme se pode verificar, é identificado com o triângulo inferior da matriz A, ou seja M = L+D; V = -U.

         É de referir que tanto o método de Gauss-Seidel como o método de Jacobi convergem quando as matrizes possuem diagonal estritamente dominante por linhas.

Métodos interativos com relaxação

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